1. प्राकृतिक एवं पूर्ण संख्याएँ

परिचय

यह अध्याय प्राकृतिक और पूर्ण संख्याओं की मूलभूत अवधारणाओं पर केंद्रित है। हम संख्याओं और संख्यांकों के अंतर, अंकों के उपयोग, स्थानीय मान पद्धति, प्राकृतिक संख्याओं, संख्या रेखा, पूर्ववर्ती और उत्तरवर्ती संख्याओं, पूर्ण संख्याओं की आवश्यकता, और पूर्ण संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाने पर चर्चा करेंगे।

1. संख्या और संख्यांक में अंतर

संख्या: संख्या एक मात्रा या गणना को दर्शाती है, जैसे 5 सेब, 10 किताबें। यह एक अमूर्त अवधारणा है।

संख्यांक: संख्यांक वह प्रतीक या चिह्न है जिसे हम संख्या को लिखने के लिए उपयोग करते हैं, जैसे 5, 10।

2. अंकों का प्रयोग और स्थानीय मान पद्धति

हम 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 अंकों का उपयोग करके संख्याएँ बनाते हैं। स्थानीय मान पद्धति में, प्रत्येक अंक का मान उसकी स्थिति (इकाई, दहाई, सैकड़ा आदि) पर निर्भर करता है।

उदाहरण: 345 में, 3 का स्थानीय मान = \(3 \times 100 = 300\), 4 का = \(4 \times 10 = 40\), 5 का = \(5 \times 1 = 5\)

3. प्राकृतिक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ गिनती की संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, ...। ये धनात्मक पूर्णांक हैं और शून्य (0) शामिल नहीं होता।

4. संख्या रेखा और प्राकृतिक संख्याओं का प्रदर्शन

संख्या रेखा एक सीधी रेखा है जिस पर संख्याएँ समान अंतराल पर अंकित होती हैं। प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, ...) दायीं ओर धनात्मक दिशा में दर्शायी जाती हैं।

5. पूर्ववर्ती और उत्तरवर्ती संख्याएँ

पूर्ववर्ती: किसी संख्या से ठीक पहले की संख्या (\(n - 1\))।
उत्तरवर्ती: किसी संख्या के ठीक बाद की संख्या (\(n + 1\))।

6. पूर्ण संख्याओं की आवश्यकता और क्रम

प्राकृतिक संख्याएँ (1, 2, 3, ...) गिनती के लिए उपयोगी हैं, लेकिन शून्य (0) को शामिल करने की आवश्यकता होती है, जैसे "कोई नहीं" या "शून्य मात्रा" दर्शाने के लिए। पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, ...।
क्रम: पूर्ण संख्याएँ 0 से शुरू होकर बढ़ती हैं: \(0 < 1 < 2 < 3 < ...\)।

7. संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओं को दर्शाना

पूर्ण संख्याएँ (0, 1, 2, 3, ...) संख्या रेखा पर 0 से शुरू होकर दायीं ओर अंकित की जाती हैं।

8. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers)

प्राकृतिक संख्याओं में शून्य (0) को शामिल करने पर पूर्ण संख्याएँ बनती हैं।
पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, 4, …

9. सम व विषम संख्याएँ (Even & Odd Numbers)

सम संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होने पर शेषफल 0 देती हैं।
विषम संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होने पर शेषफल 1 देती हैं।

10. अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)

कोई संख्या तभी अभाज्य होती है जब वह केवल 1 और स्वयं संख्या से विभाजित हो।
उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11 …

11. भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers)

कोई संख्या भाज्य होती है यदि वह 1 और स्वयं संख्या के अतिरिक्त अन्य संख्याओं से भी विभाजित हो।
उदाहरण: 4, 6, 8, 9, 10 …

12. सहअभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers)

दो संख्याएँ सहअभाज्य होती हैं यदि उनका HCF = 1 हो।
उदाहरण: 3 और 4 सहअभाज्य हैं क्योंकि gcd(3,4) = 1।

13. सम्पूर्ण संख्याएँ (Perfect Numbers)

कोई संख्या सम्पूर्ण संख्या होती है यदि वह अपने सभी वास्तविक भाजकों (स्वयं को छोड़कर) के योग के बराबर हो।
उदाहरण: 6, 28

महत्वपूर्ण बिंदु

• संख्या मात्रा को दर्शाती है, जबकि संख्यांक उसका प्रतीक है।
• स्थानीय मान पद्धति अंकों की स्थिति के आधार पर संख्याएँ बनाती है।
• प्राकृतिक संख्याएँ: 1, 2, 3, ...; पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3, ...।
• संख्या रेखा पर प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ दायीं ओर अंकित होती हैं।
• संख्या रेखा (Number Line) पर बाईं तरफ छोटी संख्याएँ होती हैं।
• संख्या रेखा (Number Line) पर दाईं तरफ बड़ी संख्याएँ होती हैं।
• पूर्ववर्ती (n - 1) और उत्तरवर्ती (n + 1) संख्याएँ क्रम को समझने में मदद करती हैं।
• सम संख्याएँ (Even Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें 2 से भाग देने पर शेषफल 0 आए।
• उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10…
• विषम संख्याएँ (Odd Numbers): वे संख्याएँ जिन्हें 2 से भाग देने पर शेषफल 1 आए।
• उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9…
• अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers): ऐसी संख्याएँ जो केवल 1 और स्वयं संख्या से विभाजित होती हैं। उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11 …
• भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers): ऐसी संख्याएँ जो 1 और स्वयं संख्या के अतिरिक्त अन्य संख्याओं से भी विभाजित होती हैं। उदाहरण: 4, 6, 8 …
• 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या।
• 0 न तो अभाज्य संख्या है न भाज्य।
• 2 ही एकमात्र अभाज्य संख्या है जो सम है।
• दो अभाज्य संख्याओं का गुणनफल सदैव भाज्य संख्या होता है।
• 1 से 100 तक कुल 25 अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
• अभाज्य संख्याएँ (1 से 100): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97।
• सहअभाज्य संख्याएँ वे होती हैं जिनका HCF (gcd) = 1 हो।
• दो अभाज्य संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं।
• एक अभाज्य संख्या और एक भाज्य संख्या सहअभाज्य हो भी सकती हैं और नहीं भी।
• 0 और किसी संख्या के बीच सहअभाज्य की स्थिति निश्चित नहीं होती।
• gcd(3,4) = 1 ⇒ 3 और 4 सहअभाज्य हैं।
• gcd(2,4) = 2 ⇒ 2 और 4 सहअभाज्य नहीं हैं।
• BODMAS नियम: गणितीय गणना करते समय क्रम – Bracket (कोष्ठक), Of (घात/का), Division (भाग), Multiplication (गुणा), Addition (जोड़), Subtraction (घटाना)।

30 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)