10. अपवर्तक तथा अपवर्त्य

परिचय

यह अध्याय अपवर्तक (फैक्टर्स) और अपवर्त्य (मल्टीपल्स) की मूल अवधारणाओं पर केंद्रित है। ये गणित के आधारभूत भाग हैं जो संख्याओं के बीच संबंधों को समझने में मदद करते हैं। हम अपवर्तक, समापवर्तक, महत्तम समापवर्तक (HCF), अपवर्त्य, समापवर्त्य, लघुतम समापवर्त्य (LCM), और उनके दैनिक जीवन में उपयोग के बारे में सीखेंगे।

विस्तृत अवधारणाएँ

1. अपवर्तक

किसी संख्या का अपवर्तक वह संख्या है जो उसे पूर्ण रूप से विभाजित करती है, यानी बिना शेष छोड़े। उदाहरण के लिए, 6 के अपवर्तक 1, 2, 3, और 6 हैं क्योंकि ये सभी 6 को पूर्ण रूप से विभाजित करते हैं।

2. अपवर्त्य

किसी संख्या का अपवर्त्य वह संख्या है जो उसका गुणज हो। उदाहरण के लिए, 3 के अपवर्त्य 3, 6, 9, 12, आदि हैं क्योंकि ये \( 3 \times 1 \), \( 3 \times 2 \), \( 3 \times 3 \), आदि के रूप में प्राप्त होते हैं।

3. अपवर्तक, समापवर्तक तथा महत्तम समापवर्तक (HCF)

समापवर्तक: दो या अधिक संख्याओं के सामान्य अपवर्तक। उदाहरण: 6 और 8 के समापवर्तक 1 और 2 हैं।
महत्तम समापवर्तक (HCF): दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा समापवर्तक। इसे यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम से निकाला जाता है।

4. अपवर्त्य, समापवर्त्य तथा लघुतम समापवर्त्य (LCM)

समापवर्त्य: दो या अधिक संख्याओं के सामान्य अपवर्त्य। उदाहरण: 4 और 6 के समापवर्त्य 12, 24, 36, आदि हैं।
लघुतम समापवर्त्य (LCM): दो या अधिक संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्त्य। इसे HCF का उपयोग करके निकाला जा सकता है: \( \text{LCM} = \frac{\text{संख्या 1} \times \text{संख्या 2}}{\text{HCF}} \)

5. लघुतम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक में संबंध

दो संख्याओं \( a \) और \( b \) के लिए, HCF और LCM का संबंध निम्नलिखित है:
\( \text{HCF}(a, b) \times \text{LCM}(a, b) = a \times b \)
यह संबंध गणितीय समस्याओं को हल करने में उपयोगी है।

6. लघुतम समापवर्त्य और महत्तम समापवर्तक का दैनिक जीवन में उपयोग

HCF का उपयोग:

• सबसे बड़ी टाइल का आकार जो एक कमरे को पूर्ण रूप से ढक सके।
• कई वस्तुओं को समान समूहों में बाँटना।

LCM का उपयोग:

• दो घटनाओं के एक साथ होने का समय, जैसे दो घंटियों का एक साथ बजना।
• भिन्नों का समान हर निकालना।

7. महत्वपूर्ण सूत्र

• अपवर्तक: वे संख्याएँ जो दी गई संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करें।
• अपवर्त्य: दी गई संख्या के गुणज।
• HCF: यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम से।
• LCM: \( \text{LCM}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{HCF}(a, b)} \)
• HCF और LCM का संबंध: \( \text{HCF} \times \text{LCM} = a \times b \)

10 हल सहित उदाहरण

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