12. वाणिज्य गणित
परिचय
वाणिज्य गणित दैनिक जीवन में उपयोगी गणितीय अवधारणाओं को समझने में मदद करता है। यह अध्याय अनुपात, समानुपात, प्रतिशतता, लाभ-हानि, और साधारण ब्याज जैसे विषयों को कवर करता है, जो व्यापार, खरीदारी, और वित्तीय गणनाओं में महत्वपूर्ण हैं।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. अनुपात
अनुपात दो राशियों की तुलना को दर्शाता है। इसे \( a:b \) या \( \frac{a}{b} \) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ \( a \) और \( b \) शून्य नहीं हैं। अनुपात को सरलतम रूप में व्यक्त किया जाता है।
उदाहरण 1:
अनुपात \( 12:18 \) को सरल करें।
हल देखें
\( 12 \div 6 = 2 \), \( 18 \div 6 = 3 \)उत्तर: \( 2:3 \)
उदाहरण 2:
यदि 20 और 30 का अनुपात निकाला जाए, तो सरलतम रूप क्या होगा?
हल देखें
\( 20 \div 10 = 2 \), \( 30 \div 10 = 3 \)उत्तर: \( 2:3 \)
उदाहरण 3:
एक कक्षा में 15 लड़के और 10 लड़कियों का अनुपात क्या है?
हल देखें
अनुपात = \( 15:10 \)उत्तर: \( 3:2 \)
उदाहरण 4:
24 और 36 का अनुपात सरलतम रूप में क्या है?
हल देखें
HCF(24, 36) = 12उत्तर: \( 2:3 \)
उदाहरण 5:
एक मिश्रण में चीनी और पानी का अनुपात \( 1:4 \) है। यदि चीनी 5 किग्रा है, तो पानी कितना है?
हल देखें
अनुपात \( 1:4 \), चीनी = 5 किग्राउत्तर: 20 किग्रा
2. समानुपात
समानुपात तब होता है जब दो अनुपात बराबर हों। यदि \( a:b = c:d \), तो \( a \times d = b \times c \)。 इसे समानुपात नियम कहते हैं।
उदाहरण 6:
क्या \( 2:3 \) और \( 4:6 \) समानुपाती हैं?
हल देखें
\( 2 \times 6 = 12 \), \( 3 \times 4 = 12 \)उत्तर: हाँ
उदाहरण 7:
यदि \( 3:5 = 9:x \), तो \( x \) क्या है?
हल देखें
\( 3 \times x = 5 \times 9 \)उत्तर: 15
उदाहरण 8:
4 किताबों की कीमत 200 रुपये है। 6 किताबों की कीमत क्या होगी?
हल देखें
अनुपात: \( 4:6 = 200:x \)उत्तर: 300 रुपये
उदाहरण 9:
यदि \( 5:10 = x:20 \), तो \( x \) क्या है?
हल देखें
\( 5 \times 20 = 10 \times x \)उत्तर: 10
उदाहरण 10:
2 लीटर दूध की कीमत 80 रुपये है। 5 लीटर दूध की कीमत क्या होगी?
हल देखें
अनुपात: \( 2:5 = 80:x \)उत्तर: 200 रुपये
3. प्रतिशतता
प्रतिशतता एक राशि को 100 के संदर्भ में व्यक्त करने की विधि है। इसे \( \% \) से दर्शाया जाता है। प्रतिशत = \( \frac{\text{भाग}}{\text{पूर्ण}} \times 100 \)
उदाहरण 11:
50 में से 20 का प्रतिशत क्या है?
हल देखें
\( \frac{20}{50} \times 100 = 40\% \)उत्तर: \( 40\% \)
उदाहरण 12:
25% का 200 क्या है?
हल देखें
\( \frac{25}{100} \times 200 = 50 \)उत्तर: 50
उदाहरण 13:
यदि एक कक्षा में 40 में से 32 विद्यार्थी उपस्थित हैं, तो उपस्थिति प्रतिशत क्या है?
हल देखें
\( \frac{32}{40} \times 100 = 80\% \)उत्तर: \( 80\% \)
उदाहरण 14:
60 का 10% क्या है?
हल देखें
\( \frac{10}{100} \times 60 = 6 \)उत्तर: 6
उदाहरण 15:
यदि 75 एक संख्या का 25% है, तो वह संख्या क्या है?
हल देखें
\( 25\% \times x = 75 \)उत्तर: 300
4. लाभ-प्रतिशत, हानि-प्रतिशत
लाभ: विक्रय मूल्य (SP) > क्रय मूल्य (CP), लाभ = SP - CPहानि: SP < CP, हानि = CP - SPलाभ%: \( \frac{\text{लाभ}}{\text{CP}} \times 100 \)हानि%: \( \frac{\text{हानि}}{\text{CP}} \times 100 \)
उदाहरण 16:
एक वस्तु 400 रुपये में खरीदी और 500 रुपये में बेची। लाभ% क्या है?
हल देखें
लाभ = \( 500 - 400 = 100 \)उत्तर: \( 25\% \)
उदाहरण 17:
एक वस्तु 600 रुपये में खरीदी और 550 रुपये में बेची। हानि% क्या है?
हल देखें
हानि = \( 600 - 550 = 50 \)उत्तर: \( 8.33\% \)
उदाहरण 18:
एक वस्तु को 20% लाभ पर 600 रुपये में बेचा। क्रय मूल्य क्या है?
हल देखें
SP = \( 120\% \times \text{CP} \)उत्तर: 500 रुपये
उदाहरण 19:
एक वस्तु 10% हानि पर 450 रुपये में बेची गई। क्रय मूल्य क्या है?
हल देखें
SP = \( 90\% \times \text{CP} \)उत्तर: 500 रुपये
उदाहरण 20:
एक वस्तु 800 रुपये में खरीदी और 15% लाभ पर बेची। विक्रय मूल्य क्या है?
हल देखें
SP = \( \text{CP} \times \frac{100 + \text{लाभ\%}}{100} \)उत्तर: 920 रुपये
5. साधारण ब्याज
साधारण ब्याज वह ब्याज है जो मूलधन पर समय और ब्याज दर के आधार पर गणना किया जाता है।
उदाहरण 21:
1000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज क्या है?
हल देखें
SI = \( \frac{1000 \times 5 \times 2}{100} = 100 \)उत्तर: 100 रुपये
उदाहरण 22:
2000 रुपये पर 4% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज और कुल राशि क्या है?
हल देखें
SI = \( \frac{2000 \times 4 \times 3}{100} = 240 \)उत्तर: SI = 240 रुपये, कुल राशि = 2240 रुपये
उदाहरण 23:
1500 रुपये पर 3 वर्ष का साधारण ब्याज 180 रुपये है। ब्याज दर क्या है?
हल देखें
\( 180 = \frac{1500 \times R \times 3}{100} \)उत्तर: \( 4\% \)
उदाहरण 24:
5000 रुपये पर 6% दर से कितने वर्ष में 900 रुपये ब्याज मिलेगा?
हल देखें
\( 900 = \frac{5000 \times 6 \times T}{100} \)उत्तर: 3 वर्ष
उदाहरण 25:
3000 रुपये पर 5% दर से 2 वर्ष की कुल राशि क्या है?
हल देखें
SI = \( \frac{3000 \times 5 \times 2}{100} = 300 \)उत्तर: 3300 रुपये
6. व्यवहार गणित
व्यवहार गणित में अनुपात, समानुपात, प्रतिशतता, लाभ-हानि, और साधारण ब्याज का उपयोग दैनिक जीवन की समस्याओं जैसे खरीदारी, बजट, और वित्तीय गणनाओं में किया जाता है।
उदाहरण 26:
एक दुकानदार 10% छूट के बाद 450 रुपये में एक वस्तु बेचता है। मूल कीमत क्या थी?
हल देखें
SP = \( 90\% \times \text{मूल कीमत} \)उत्तर: 500 रुपये
उदाहरण 27:
एक व्यक्ति 3:2 के अनुपात में दो वस्तुओं पर 500 रुपये खर्च करता है। पहली वस्तु पर कितना खर्च हुआ?
हल देखें
कुल भाग = \( 3 + 2 = 5 \)उत्तर: 300 रुपये
उदाहरण 28:
4 किग्रा चावल की कीमत 120 रुपये है। 6 किग्रा चावल की कीमत क्या होगी?
हल देखें
अनुपात: \( 4:6 = 120:x \)उत्तर: 180 रुपये
उदाहरण 29:
एक वस्तु को 15% लाभ पर 690 रुपये में बेचा। क्रय मूल्य क्या है?
हल देखें
SP = \( 115\% \times \text{CP} \)उत्तर: 600 रुपये
उदाहरण 30:
4000 रुपये पर 6% दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज क्या है?
हल देखें
SI = \( \frac{4000 \times 6 \times 2}{100} = 480 \)उत्तर: 480 रुपये
7. महत्वपूर्ण सूत्र
अनुपात: \( a:b = \frac{a}{b} \), सरलतम रूप में HCF से भाग करें।
समानुपात: \( a:b = c:d \Rightarrow a \times d = b \times c \)
प्रतिशत: \( \frac{\text{भाग}}{\text{पूर्ण}} \times 100 \)
लाभ% = \( \frac{\text{SP} - \text{CP}}{\text{CP}} \times 100 \)
हानि% = \( \frac{\text{CP} - \text{SP}}{\text{CP}} \times 100 \)
SP = \( \text{CP} \times \frac{100 + \text{लाभ\%}}{100} \) (लाभ के लिए)
SP = \( \text{CP} \times \frac{100 - \text{हानि\%}}{100} \) (हानि के लिए)
साधारण ब्याज: \( \text{SI} = \frac{\text{मूलधन} \times \text{दर} \times \text{समय}}{100} \)
कुल राशि = मूलधन + साधारण ब्याज
25 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)