13. त्रिभुज

परिचय

यह अध्याय त्रिभुज और उनकी रचना पर केंद्रित है। त्रिभुज एक त्रि-भुजीय आकृति है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन कोण, और तीन शीर्ष होते हैं। हम त्रिभुज की रचना के विभिन्न तरीकों को सीखेंगे, जैसे SSS, SAS, ASA, और RHS।

विस्तृत अवधारणाएँ

1. त्रिभुज की रचना

त्रिभुज की रचना करने के लिए कुछ शर्तें पूरी होनी चाहिए। त्रिभुज की रचना तब संभव है जब:

तीन भुजाएँ दी गई हों (SSS)।
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो (SAS)।
दो कोण और उनके बीच की भुजा दी हो (ASA)।
समकोण त्रिभुज में कर्ण और एक भुजा दी हो (RHS)।

नोट: त्रिभुज की रचना के लिए, दी गई भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए।

2. तीनों भुजाएँ ज्ञात हों (SSS)

जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों, तो निम्नलिखित चरणों से रचना करें:

एक भुजा की रेखा खींचें।
कम्पास से दूसरी भुजा की लंबाई नापकर चाप बनाएँ।
तीसरी भुजा की लंबाई नापकर दूसरा चाप बनाएँ।
चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु को तीसरे शीर्ष के रूप में जोड़ें।

उदाहरण 1:
एक त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें \( AB = 5 \, \text{cm}, BC = 6 \, \text{cm}, AC = 7 \, \text{cm} \)。

3. दो भुजाएँ व मध्यस्थ कोण ज्ञात हों (SAS)

जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो, तो निम्नलिखित चरणों से रचना करें:

एक भुजा की रेखा खींचें।
दिए गए कोण को प्रोट्रैक्टर से बनाएँ।
दूसरी भुजा की लंबाई नापकर चाप बनाएँ।
शीर्षों को जोड़ें।

उदाहरण 2:
एक त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें \( AB = 4 \, \text{cm}, BC = 5 \, \text{cm}, \angle B = 60^\circ \)。

4. दो कोण एवं मध्यस्थ भुजा ज्ञात हों (ASA)

जब दो कोण और उनके बीच की भुजा दी हो, तो निम्नलिखित चरणों से रचना करें:

मध्यस्थ भुजा की रेखा खींचें।
एक शीर्ष पर प्रोट्रैक्टर से पहला कोण बनाएँ।
दूसरे शीर्ष पर दूसरा कोण बनाएँ।
कोणों की भुजाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को तीसरे शीर्ष के रूप में जोड़ें।

उदाहरण 3:
एक त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें \( AB = 5 \, \text{cm}, \angle A = 45^\circ, \angle B = 60^\circ \)。

5. समकोण त्रिभुज की रचना जबकि इसका कर्ण व एक भुजा ज्ञात हो (RHS)

जब समकोण त्रिभुज का कर्ण और एक भुजा दी हो, तो निम्नलिखित चरणों से रचना करें:

एक भुजा की रेखा खींचें।
एक शीर्ष पर \( 90^\circ \) का कोण बनाएँ।
कर्ण की लंबाई नापकर चाप बनाएँ।
शीर्षों को जोड़ें।

उदाहरण 4:
एक समकोण त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें \( \angle B = 90^\circ, BC = 3 \, \text{cm}, AC = 5 \, \text{cm} \) (कर्ण)।

उदाहरण 5:
एक समकोण त्रिभुज PQR बनाएँ जिसमें \( \angle Q = 90^\circ, QR = 4 \, \text{cm}, PR = 5 \, \text{cm} \) (कर्ण)।

6. महत्वपूर्ण सूत्र

त्रिभुज की भुजाओं की शर्त: \( a + b > c \), \( b + c > a \), \( a + c > b \) (जहाँ \( a, b, c \) भुजाएँ हैं)।
कोणों का योग: \( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)
पाइथागोरस प्रमेय (समकोण त्रिभुज): \( \text{कर्ण}^2 = \text{आधार}^2 + \text{लंब}^2 \)
परिमाप = \( a + b + c \)
क्षेत्रफल (जब आधार और ऊँचाई दी हो): \( \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)