2. पूर्ण संख्याओं पर संक्रियाएँ

परिचय

यह अध्याय पूर्ण संख्याओं (0, 1, 2, 3, ...) पर चार मूल संक्रियाओं—जोड़, घटाना, गुणा, और भाग—के गुणधर्मों पर केंद्रित है। हम इन संक्रियाओं के विभिन्न गुणों को समझेंगे और उनके उपयोग को उदाहरणों के माध्यम से देखेंगे।

1. जोड़ के गुणधर्म

पूर्ण संख्याओं पर जोड़ के निम्नलिखित गुणधर्म हैं:

संवरक प्रगुण (Closure Property): यदि \(a\) और \(b\) पूर्ण संख्याएँ हैं, तो \(a + b\) भी पूर्ण संख्या है।
क्रम विनिमेय प्रगुण (Commutative Property): \(a + b = b + a\)
साहचर्य प्रगुण (Associative Property): \((a + b) + c = a + (b + c)\)
शून्य का तत्समक अवयव (Identity Property): \(a + 0 = a\)

उदाहरण 1: क्रम विनिमेय प्रगुण
जाँच करें कि \(5 + 3 = 3 + 5\)।

उदाहरण 2: साहचर्य गुणधर्म
जाँच करें कि \((2 + 4) + 3 = 2 + (4 + 3)\)。

2. घटाने के गुणधर्म

पूर्ण संख्याओं पर घटाने के निम्नलिखित गुणधर्म हैं:

क्रम विनिमेय प्रगुण लागू नहीं: \(a - b \neq b - a\) (सामान्यतः)।
साहचर्य प्रगुण लागू नहीं: \((a - b) - c \neq a - (b - c)\) (सामान्यतः)।
संवरक प्रगुण लागू नहीं: \(a - b\) पूर्ण संख्या नहीं हो सकती यदि \(b > a\)।
शून्य का गुणधर्म: \(a - 0 = a\), लेकिन \(0 - a \neq a\) यदि \(a \neq 0\)।

उदाहरण 1: क्रम विनिमेय प्रगुण
जाँच करें कि \(7 - 4 = 4 - 7\)।

उदाहरण 2: संवरक प्रगुण
जाँच करें कि \(3 - 5\) पूर्ण संख्या है या नहीं।

3. गुणा के गुणधर्म

पूर्ण संख्याओं पर गुणा के निम्नलिखित गुणधर्म हैं:

संवरक प्रगुण : यदि \(a\) और \(b\) पूर्ण संख्याएँ हैं, तो \(a \times b\) भी पूर्ण संख्या है।
क्रम विनिमेय प्रगुण : \(a \times b = b \times a\)
साहचर्य गुणधर्म: \((a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
तत्समक गुणधर्म: \(a \times 1 = a\)
शून्य गुणधर्म: \(a \times 0 = 0\)
वितरण गुणधर्म: \(a \times (b + c) = a \times b + a \times c\)

उदाहरण 1: वितरण गुणधर्म
जाँच करें कि \(3 \times (4 + 2) = 3 \times 4 + 3 \times 2\)。

उदाहरण 2: तत्समक गुणधर्म
जाँच करें कि \(8 \times 1 = 8\)。

4. भाग के गुणधर्म

पूर्ण संख्याओं पर भाग के निम्नलिखित गुणधर्म हैं:

क्रम विनिमेय प्रगुण लागू नहीं: \(a \div b \neq b \div a\) (सामान्यतः)।
साहचर्य प्रगुण लागू नहीं: \((a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)\) (सामान्यतः)।
संवरक प्रगुण लागू नहीं: \(a \div b\) पूर्ण संख्या नहीं हो सकती यदि \(b\) से \(a\) पूर्णतः विभाज्य नहीं है।
गुणधर्म: \(a \div 1 = a\), \(a \div a = 1\) (यदि \(a \neq 0\)), \(0 \div a = 0\) (यदि \(a \neq 0\)), लेकिन \(a \div 0\) परिभाषित नहीं है।

उदाहरण 1: क्रम विनिमेय प्रगुण
जाँच करें कि \(10 \div 2 = 2 \div 10\)。

उदाहरण 2: शून्य का गुणधर्म
जाँच करें कि \(0 \div 5 = 0\)。

महत्वपूर्ण बिंदु

जोड़ और गुणा पूर्ण संख्याओं पर बंद, संयोजी, और साहचर्य गुणधर्मों को संतुष्ट करते हैं।
घटाना और भाग इन गुणधर्मों को सामान्यतः संतुष्ट नहीं करते।
शून्य जोड़ का तत्समक है (\(a + 0 = a\)), और 1 गुणा का तत्समक है (\(a \times 1 = a\))।
गुणा का वितरण गुणधर्म जोड़ पर लागू होता है।
भाग में \(a \div 0\) परिभाषित नहीं है।