यह अध्याय चतुर्भुज और उनकी विशेषताओं पर केंद्रित है। चतुर्भुज एक चार भुजाओं वाली बहुभुज आकृति है। हम चतुर्भुज
के विभिन्न अंगों, प्रकारों, सूत्रों, और उनके गुणों के प्रायोगिक सत्यापन को समझेंगे।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. चतुर्भुज एवं इसके विभिन्न अंग
चतुर्भुज एक समतल आकृति है जिसमें चार भुजाएँ, चार शीर्ष, और चार कोण होते हैं। इसके मुख्य अंग हैं:
भुजाएँ: चार रेखाखंड जो चतुर्भुज को बनाते हैं।
शीर्ष: चार बिंदु जहाँ भुजाएँ मिलती हैं।
कोण: चार कोण जो शीर्षों पर बनते हैं।
विकर्ण: दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाली रेखाएँ। एक चतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं।
आसन्न भुजाएँ: दो भुजाएँ जो एक ही शीर्ष पर मिलती हैं।
विपरीत भुजाएँ: दो भुजाएँ जो एक-दूसरे के सामने होती हैं।
उदाहरण 1:
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ, शीर्ष, और विकर्ण पहचानें।
भुजाएँ: AB, BC, CD, DA
शीर्ष: A, B, C, D
विकर्ण: AC, BD
उत्तर: भुजाएँ: AB, BC, CD, DA; शीर्ष: A, B, C, D; विकर्ण: AC, BD।
2. चतुर्भुज के समस्त प्रकार
चतुर्भुज के विभिन्न प्रकार निम्नलिखित हैं:
समांतर चतुर्भुज: विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर होती हैं।
आयत: विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर, सभी कोण \( 90^\circ \).
वर्ग: सभी भुजाएँ समान, सभी कोण \( 90^\circ \), विपरीत भुजाएँ समानांतर।
समलंब: केवल एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं।
समचतुर्भुज: सभी भुजाएँ समान, लेकिन कोण \( 90^\circ \) नहीं।
पतंग (Kite): दो-दो आसन्न भुजाएँ समान।
उदाहरण 2:
एक आयत और एक वर्ग में क्या अंतर है?
आयत: विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर, कोण \( 90^\circ \), लेकिन सभी भुजाएँ समान नहीं।
वर्ग: सभी भुजाएँ समान और समानांतर, कोण \( 90^\circ \).
उत्तर: वर्ग में सभी भुजाएँ समान होती हैं, जबकि आयत में केवल विपरीत भुजाएँ समान होती
हैं।
3. महत्वपूर्ण सूत्र
चतुर्भुज से संबंधित सूत्र:
चतुर्भुज का क्षेत्रफल (सामान्य): यदि आधार और ऊँचाई दी हो, तो क्षेत्रफल =
आधार x ऊँचाई (समांतर चतुर्भुज, आयत, वर्ग के लिए)।
आयत का क्षेत्रफल: लंबाई x चौड़ाई
आयत की परिधि: 2(लंबाई + चौड़ाई
वर्ग का क्षेत्रफल: भुजा x भुजा
वर्ग की परिधि: 4 x भुजा
समलंब का क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \times (\text{sum of parellel lines}) \times
\text{height} \)
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \times \text{d1} \times \text{d2}
\)
चतुर्भुज के कोणों का योग: \( 360^\circ \)
3. चतुर्भुजों के गुणों का प्रायोगिक सत्यापन
NCERT कक्षा 7 में, चतुर्भुजों के गुणों को प्रायोगिक रूप से सत्यापित करने के लिए गतिविधियाँ दी गई हैं। यहाँ
कुछ प्रमुख गुण और उनके सत्यापन की प्रक्रिया दी गई है:
कोणों का योग: किसी भी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है। प्रायोगिक सत्यापन: एक चतुर्भुज \( ABCD \) बनाएँ। प्रत्येक कोण (\( \angle A \), \(
\angle B \), \( \angle C \), \( \angle D \)) को प्रोटेक्टर से मापें। इनका योग निकालें। उदाहरण: यदि \(
\angle A = 80^\circ \), \( \angle B = 100^\circ \), \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle D = 90^\circ
\), तो \( 80 + 100 + 90 + 90 = 360^\circ \).
समांतर चतुर्भुज के गुण:
विपरीत भुजाएँ समान और समांतर होती हैं।
विपरीत कोण समान होते हैं।
विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
प्रायोगिक सत्यापन: एक समांतर चतुर्भुज कागज पर बनाएँ। भुजाओं को रूलर से मापें (उदाहरण:
\( AB = CD \), \( AD = BC \))। कोणों को प्रोटेक्टर से मापें (उदाहरण: \( \angle A = \angle C \))। विकर्ण
\( AC \) और \( BD \) को खींचें और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर मापें कि वे एक-दूसरे को आधे में बाँटते हैं।
वर्ग के गुण:
सभी भुजाएँ समान।
सभी कोण \( 90^\circ \).
विकर्ण समान, एक-दूसरे को \( 90^\circ \) पर काटते हैं, और समद्विभाजित करते हैं।
प्रायोगिक सत्यापन: एक वर्ग बनाएँ। रूलर से भुजाएँ मापें (सभी बराबर)। प्रोटेक्टर से कोण
मापें (सभी \( 90^\circ \))। विकर्ण खींचें, उनकी लंबाई मापें, और सत्यापित करें कि वे \( 90^\circ \) पर
काटते हैं।
आयत के गुण:
विपरीत भुजाएँ समान और समांतर।
सभी कोण \( 90^\circ \).
विकर्ण समान और समद्विभाजित।
प्रायोगिक सत्यापन: एक आयत बनाएँ। भुजाएँ मापें (\( AB = CD \), \( AD = BC \))। कोण मापें
(सभी \( 90^\circ \))। विकर्णों की लंबाई और प्रतिच्छेदन बिंदु की जाँच करें।
समलंब के गुण:
केवल एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समांतर।
गैर-समांतर भुजाएँ समान हो सकती हैं (समद्विबाहु समलंब)।
प्रायोगिक सत्यापन: एक समलंब बनाएँ। समांतर भुजाओं को रूलर और प्रोटेक्टर से सत्यापित
करें। गैर-समांतर भुजाओं की लंबाई मापें।
उदाहरण 3: एक समांतर चतुर्भुज के कोण \( \angle A = 70^\circ \), \( \angle B = 110^\circ \),
\( \angle C = 70^\circ \), \( \angle D = ? \) हैं। \( \angle D \) का मान निकालें।
हल: चतुर्भुज के कोणों का योग = \( 360^\circ \)
\( \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \)
\( 70^\circ + 110^\circ + 70^\circ + \angle D = 360^\circ \)
\( 250^\circ + \angle D = 360^\circ \)
\( \angle D = 360^\circ - 250^\circ = 110^\circ \)
सत्यापन: \( \angle A = \angle C = 70^\circ \), \( \angle B = \angle D = 110^\circ \), जो समांतर चतुर्भुज के
गुण (विपरीत कोण समान) को संतुष्ट करता है।
चतुर्भुज के कोणों का योग: किसी भी चतुर्भुज के चारों कोणों का योग \( 360^\circ \) होता
है। इसे कागज पर चतुर्भुज बनाकर और कोणों को मापकर सत्यापित करें।
समांतर चतुर्भुज के गुण: विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर, विपरीत कोण समान, और आसन्न कोण
पूरक (\( 180^\circ \))।
आयत के गुण: सभी कोण \( 90^\circ \), विपरीत भुजाएँ समान, विकर्ण समान और एक-दूसरे को
समद्विभाजित करते हैं।
वर्ग के गुण: आयत के सभी गुण, साथ ही सभी भुजाएँ समान और विकर्ण \( 90^\circ \) पर
प्रतिच्छेद करते हैं।
समलंब के गुण: एक जोड़ी विपरीत भुजाएँ समानांतर।
उदाहरण 4:
सत्यापित करें कि एक चतुर्भुज के कोणों का योग \( 360^\circ \) है।
एक चतुर्भुज ABCD बनाएँ।
प्रोट्रैक्टर से कोणों \(\angle A, \angle B, \angle C, \angle D\) को मापें।
उदाहरण के लिए, यदि \(\angle A = 80^\circ, \angle B = 100^\circ, \angle C = 80^\circ, \angle D =
100^\circ\), तो योग = \( 80 + 100 + 80 + 100 = 360^\circ \)
उत्तर: कोणों का योग \( 360^\circ \) है।
उदाहरण 5:
सत्यापित करें कि एक आयत के विकर्ण समान होते हैं।
एक आयत ABCD बनाएँ जिसमें AB = 6 cm, BC = 4 cm।
विकर्ण AC और BD की लंबाई पाइथागोरस प्रमेय से निकालें।