10. वृत्त

परिचय

यह अध्याय वृत्त और उसके गुणों पर केंद्रित है। वृत्त एक समतल आकृति है जिसमें एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है। हम वृत्त के विभिन्न भागों, गुणों के प्रायोगिक सत्यापन, सूत्रों, और उदाहरणों को समझेंगे।

विस्तृत अवधारणाएँ

1. वृत्त की अवधारणा

वृत्त एक समतल ज्यामितीय आकृति है जिसमें केंद्र (O) से परिधि पर सभी बिंदुओं की दूरी (त्रिज्या, \( r \)) समान होती है। वृत्त के प्रमुख भाग हैं:

• त्रिज्या: केंद्र से परिधि तक की दूरी।
• व्यास: परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा जो केंद्र से होकर गुजरती है (\( d = 2r \))।
• जीवा: परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा। व्यास सबसे बड़ी जीवा है।
• चाप: परिधि का एक हिस्सा।
• अर्धवृत्त: व्यास द्वारा वृत्त का आधा हिस्सा।
• वृत्तखंड: जीवा और चाप द्वारा घिरा क्षेत्र।
• त्रिज्यखंड: दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप द्वारा घिरा क्षेत्र।

2. वृत्त के गुणों का प्रायोगिक सत्यापन

2.1 अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है

यदि एक त्रिभुज की एक भुजा वृत्त का व्यास हो और तीसरा शीर्ष वृत्त की परिधि पर हो, तो परिधि पर बना कोण \( 90^\circ \) होता है। इसे थेल्स प्रमेय भी कहते हैं।

2.2 चाप के सम्मुख केन्द्र पर बना कोण, उसी चाप द्वारा शेषवृत्त के किसी बिंदु पर बने कोण का दूना होता है

यदि चाप AB केंद्र O पर \(\angle AOB\) बनाता है और परिधि पर किसी बिंदु C पर \(\angle ACB\) बनाता है, तो \(\angle AOB = 2 \times \angle ACB\).

2.3 एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं

यदि एक ही चाप (उदाहरण के लिए, चाप AB) के सम्मुख वृत्तखंड में दो बिंदु C और D पर कोण बनते हैं (\(\angle ACB\) और \(\angle ADB\)), तो \(\angle ACB = \angle ADB\).

3. महत्वपूर्ण सूत्र

वृत्त से संबंधित सूत्र:

• व्यास: \( d = 2r \)
• परिधि: \( 2\pi r \) या \( \pi d \) (जहाँ \( \pi = \frac{22}{7} \) या \( 3.14 \))
• क्षेत्रफल: \( \pi r^2 \)
• अर्धवृत्त की परिधि: \( \pi r + 2r \)
• अर्धवृत्त का क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \pi r^2 \)
• त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल: \( \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \) (जहाँ \( \theta \) केंद्र पर कोण है)
• चाप की लंबाई: \( \frac{\theta}{360} \times 2\pi r \)
• केंद्र पर कोण: \( \angle AOB = 2 \times \angle ACB \) (जहाँ C परिधि पर बिंदु है)

4. अन्य उदाहरण

25 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)