11. क्षेत्रमिति
परिचय
क्षेत्रमिति ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल, परिमाप, विकर्ण, और आयतन को मापने की प्रक्रिया है। यह अध्याय आयताकार मार्ग, त्रिभुज, समान्तर चतुर्भुज, समचतुर्भुज, घन, और घनाभ के क्षेत्रफल, परिमाप, विकर्ण, और आयतन पर केंद्रित है। हम सूत्रों, उदाहरणों, और बहुविकल्पीय प्रश्नों के माध्यम से इन अवधारणाओं को समझेंगे।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. आयताकार मार्ग का क्षेत्रफल, परिमाप, और विकर्ण
आयताकार मार्ग एक आयत के चारों ओर एक निश्चित चौड़ाई का क्षेत्र होता है, जैसे कि एक बगीचे के चारों ओर का रास्ता। इसका क्षेत्रफल, परिमाप, और विकर्ण निम्नलिखित सूत्रों से निकाले जाते हैं:
क्षेत्रफल: \( (\text{बाहरी लंबाई} \times \text{बाहरी चौड़ाई}) - (\text{आंतरिक लंबाई} \times \text{आंतरिक चौड़ाई}) \)परिमाप: \( 2(\text{बाहरी लंबाई} + \text{बाहरी चौड़ाई}) \) (बाहरी आयत के लिए)विकर्ण: \( \sqrt{\text{लंबाई}^2 + \text{चौड़ाई}^2} \) (बाहरी या आंतरिक आयत के लिए)
उदाहरण 1:
एक आयताकार बगीचे की लंबाई 25 m और चौड़ाई 20 m है। इसके चारों ओर 3 m चौड़ा मार्ग है। मार्ग का क्षेत्रफल, बाहरी परिमाप, और बाहरी विकर्ण निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: बाहरी लंबाई = \( 25 + 3 + 3 = 31 \, \text{m} \)
बाहरी चौड़ाई = \( 20 + 3 + 3 = 26 \, \text{m} \)
बाहरी क्षेत्रफल = \( 31 \times 26 = 806 \, \text{m}^2 \)
आंतरिक क्षेत्रफल = \( 25 \times 20 = 500 \, \text{m}^2 \)
मार्ग का क्षेत्रफल = \( 806 - 500 = 306 \, \text{m}^2 \)
परिमाप: बाहरी परिमाप = \( 2(31 + 26) = 2 \times 57 = 114 \, \text{m} \)
विकर्ण: बाहरी विकर्ण = \( \sqrt{31^2 + 26^2} = \sqrt{961 + 676} = \sqrt{1637} \approx 40.46 \, \text{m} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 306 \, \text{m}^2 \), परिमाप = \( 114 \, \text{m} \), विकर्ण \(\approx 40.46 \, \text{m} \)
2. त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल और परिमाप
त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई पर निर्भर करता है, और परिमाप तीनों भुजाओं का योग होता है।
क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)परिमाप: \( a + b + c \) (जहाँ \( a, b, c \) भुजाएँ हैं)
उदाहरण 2:
एक त्रिभुज का आधार 8 cm, ऊँचाई 6 cm, और भुजाएँ 5 cm, 5 cm, 6 cm हैं। इसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, \text{cm}^2 \)
परिमाप: परिमाप = \( 5 + 5 + 6 = 16 \, \text{cm} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 24 \, \text{cm}^2 \), परिमाप = \( 16 \, \text{cm} \)
3. समान्तर चतुर्भुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल और परिमाप
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है, और परिमाप समान भुजाओं के योग से निकाला जाता है।
क्षेत्रफल: \( \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)परिमाप: \( 2(\text{आधार} + \text{पार्श्व भुजा}) \)
उदाहरण 3:
एक समान्तर चतुर्भुज का आधार 10 m, ऊँचाई 4 m, और पार्श्व भुजा 6 m है। इसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = \( 10 \times 4 = 40 \, \text{m}^2 \)
परिमाप: परिमाप = \( 2(10 + 6) = 2 \times 16 = 32 \, \text{m} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 40 \, \text{m}^2 \), परिमाप = \( 32 \, \text{m} \)
4. समचतुर्भुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल, विकर्ण, और परिमाप
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है, परिमाप चारों समान भुजाओं का योग है, और विकर्णों की गणना पाइथागोरस प्रमेय से की जा सकती है।
क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \times \text{विकर्ण 1} \times \text{विकर्ण 2} \)परिमाप: \( 4 \times \text{भुजा} \)विकर्ण: यदि भुजा \( a \) है, तो विकर्ण \( \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \) (वर्ग के लिए, समचतुर्भुज का विशेष मामला)
उदाहरण 4:
एक समचतुर्भुज की भुजा 5 cm और विकर्ण 8 cm, 6 cm हैं। इसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \, \text{cm}^2 \)
परिमाप: परिमाप = \( 4 \times 5 = 20 \, \text{cm} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 24 \, \text{cm}^2 \), परिमाप = \( 20 \, \text{cm} \)
5. घन एवं घनाभ का आयतन, विकर्ण, और सम्पूर्ण पृष्ठ
घन और घनाभ के आयतन, विकर्ण, और पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना उनके आयामों के आधार पर की जाती है।
घन का आयतन: \( a^3 \)घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: \( 6a^2 \)घन का विकर्ण: \( a\sqrt{3} \)घनाभ का आयतन: \( l \times b \times h \)घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल: \( 2(lb + bh + lh) \)घनाभ का विकर्ण: \( \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \)
उदाहरण 5:
एक घन की भुजा 3 cm है। इसका आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल, और विकर्ण निकालें।
हल देखें
आयतन: आयतन = \( 3^3 = 27 \, \text{cm}^3 \)
पृष्ठीय क्षेत्रफल: पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54 \, \text{cm}^2 \)
विकर्ण: विकर्ण = \( 3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196 \, \text{cm} \)
उत्तर: आयतन = \( 27 \, \text{cm}^3 \), पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 54 \, \text{cm}^2 \), विकर्ण \(\approx 5.20 \, \text{cm} \)
उदाहरण 6:
एक घनाभ की लंबाई 6 m, चौड़ाई 4 m, और ऊँचाई 3 m है। इसका आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल, और विकर्ण निकालें।
हल देखें
आयतन: आयतन = \( 6 \times 4 \times 3 = 72 \, \text{m}^3 \)
पृष्ठीय क्षेत्रफल: पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 2(6 \times 4 + 4 \times 3 + 6 \times 3) = 2(24 + 12 + 18) = 2 \times 54 = 108 \, \text{m}^2 \)
विकर्ण: विकर्ण = \( \sqrt{6^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61} \approx 7.81 \, \text{m} \)
उत्तर: आयतन = \( 72 \, \text{m}^3 \), पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 108 \, \text{m}^2 \), विकर्ण \(\approx 7.81 \, \text{m} \)
6. अन्य उदाहरण
उदाहरण 7:
एक आयताकार मैदान की लंबाई 40 m और चौड़ाई 30 m है। इसके चारों ओर 4 m चौड़ा मार्ग है। मार्ग का क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: बाहरी लंबाई = \( 40 + 4 + 4 = 48 \, \text{m} \)
बाहरी चौड़ाई = \( 30 + 4 + 4 = 38 \, \text{m} \)
बाहरी क्षेत्रफल = \( 48 \times 38 = 1824 \, \text{m}^2 \)
आंतरिक क्षेत्रफल = \( 40 \times 30 = 1200 \, \text{m}^2 \)
मार्ग का क्षेत्रफल = \( 1824 - 1200 = 624 \, \text{m}^2 \)
परिमाप: बाहरी परिमाप = \( 2(48 + 38) = 2 \times 86 = 172 \, \text{m} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 624 \, \text{m}^2 \), परिमाप = \( 172 \, \text{m} \)
उदाहरण 8:
एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 cm, 8 cm, और 9 cm हैं। इसका क्षेत्रफल (सूत्र: \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), जहाँ \( s = \frac{a+b+c}{2} \)) और परिमाप निकालें।
हल देखें
परिमाप: परिमाप = \( 7 + 8 + 9 = 24 \, \text{cm} \)
क्षेत्रफल: \( s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = 12 \)
क्षेत्रफल = \( \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} \approx 26.83 \, \text{cm}^2 \)
उत्तर: क्षेत्रफल \(\approx 26.83 \, \text{cm}^2 \), परिमाप = \( 24 \, \text{cm} \)
उदाहरण 9:
एक समान्तर चतुर्भुज का आधार 15 m, ऊँचाई 6 m, और पार्श्व भुजा 8 m है। इसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = \( 15 \times 6 = 90 \, \text{m}^2 \)
परिमाप: परिमाप = \( 2(15 + 8) = 2 \times 23 = 46 \, \text{m} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 90 \, \text{m}^2 \), परिमाप = \( 46 \, \text{m} \)
उदाहरण 10:
एक समचतुर्भुज की भुजा 4 cm और विकर्ण 6 cm, 4.8 cm हैं। इसका क्षेत्रफल और परिमाप निकालें।
हल देखें
क्षेत्रफल: क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times 6 \times 4.8 = 14.4 \, \text{cm}^2 \)
परिमाप: परिमाप = \( 4 \times 4 = 16 \, \text{cm} \)
उत्तर: क्षेत्रफल = \( 14.4 \, \text{cm}^2 \), परिमाप = \( 16 \, \text{cm} \)
7. महत्वपूर्ण सूत्र
क्षेत्रमिति से संबंधित सूत्र:
आयताकार मार्ग:
क्षेत्रफल: \( (\text{बाहरी लंबाई} \times \text{बाहरी चौड़ाई}) - (\text{आंतरिक लंबाई} \times \text{आंतरिक चौड़ाई}) \)
परिमाप: \( 2(\text{बाहरी लंबाई} + \text{बाहरी चौड़ाई}) \)
विकर्ण: \( \sqrt{\text{लंबाई}^2 + \text{चौड़ाई}^2} \)
त्रिभुज:
क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
परिमाप: \( a + b + c \)
क्षेत्रफल (भुजाओं से): \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \), जहाँ \( s = \frac{a+b+c}{2} \)
समान्तर चतुर्भुज:
क्षेत्रफल: \( \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
परिमाप: \( 2(\text{आधार} + \text{पार्श्व भुजा}) \)
समचतुर्भुज:
क्षेत्रफल: \( \frac{1}{2} \times \text{विकर्ण 1} \times \text{विकर्ण 2} \)
परिमाप: \( 4 \times \text{भुजा} \)
विकर्ण (वर्ग के लिए): \( a\sqrt{2} \)
घन:
आयतन: \( a^3 \)
पृष्ठीय क्षेत्रफल: \( 6a^2 \)
विकर्ण: \( a\sqrt{3} \)
घनाभ:
आयतन: \( l \times b \times h \)
पृष्ठीय क्षेत्रफल: \( 2(lb + bh + lh) \)
विकर्ण: \( \sqrt{l^2 + b^2 + h^2} \)
25 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)