2. घातांक

परिचय

यह अध्याय घातांक (Exponents) और उनकी शक्तियों (Powers) पर केंद्रित है। घातांक संख्याओं को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने का एक तरीका है, विशेष रूप से जब कोई संख्या बार-बार गुणा की जाती है। हम घातांक के नियम, परिमेय संख्याओं को घात द्वारा व्यक्त करना, धनात्मक और ऋणात्मक घातांक, और बड़ी व छोटी संख्याओं की तुलना के बारे में सीखेंगे।

विस्तृत अवधारणाएँ

1. घातांक के नियम

घातांक संख्याओं को बार-बार गुणा करने को संक्षिप्त रूप में दर्शाते हैं। उदाहरण: \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)。 यहाँ 2 आधार (base) है और 3 घातांक (exponent) है। घातांक के प्रमुख नियम हैं:

• गुणन नियम: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• भाग नियम: \( a^m \div a^n = a^{m-n} \) (जब \( a \neq 0 \))
• शक्ति नियम: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• शून्य घातांक: \( a^0 = 1 \) (जब \( a \neq 0 \))
• एकक घातांक: \( a^1 = a \)

2. परिमेय संख्याओं को घात द्वारा व्यक्त करना

परिमेय संख्याएँ (जैसे \( \frac{p}{q} \), जहाँ \( q \neq 0 \)) भी घातांकीय रूप में लिखी जा सकती हैं। उदाहरण: \( \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} \)

• नियम: \( \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \)
• परिमेय संख्याओं के साथ घातांक नियम लागू होते हैं।

3. धनात्मक एवं ऋणात्मक घातांक

घातांक धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं।

• धनात्मक घातांक: \( a^n \) का अर्थ है \( a \) को \( n \) बार गुणा करना। जैसे, \( 2^3 = 8 \)
• ऋणात्मक घातांक: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (जब \( a \neq 0 \))। जैसे, \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

4. बड़ी एवं छोटी संख्याओं को घातांकीय रूप में व्यक्त करके उनकी तुलना करना

बड़ी और छोटी संख्याओं को घातांकीय रूप में लिखकर तुलना करना आसान हो जाता है। उदाहरण: \( 1000 = 10^3 \), \( 0.001 = 10^{-3} \)

• समान आधार: घातांक की तुलना करें।
• अलग आधार: संख्याओं को मानक रूप (scientific notation) में लिखें।

महत्वपूर्ण बिंदु

• घातांक संख्याओं को बार-बार गुणा करने को संक्षिप्त रूप में दर्शाते हैं।
• नियम: गुणन (\( a^m \times a^n = a^{m+n} \)), भाग (\( a^m \div a^n = a^{m-n} \)), शक्ति (\( (a^m)^n = a^{m \times n} \))।
• ऋणात्मक घातांक: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
• बड़ी/छोटी संख्याएँ घातांकीय रूप में तुलना के लिए आसान होती हैं।

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