यह अध्याय रचनाओं (Practical Geometry) पर केंद्रित है, जिसमें हम पटरी (Ruler) और परकार (Compass) का उपयोग करके विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की रचना करना सीखेंगे। इसमें रेखा खंड का समद्विभाजन, कोण की रचना, कोण का समद्विभाजन, समान्तर रेखा खींचना, और दिए गए बिंदु से लम्ब खींचना शामिल है।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. दिए हुए रेखा खंड को समद्विभाजित करना
रेखा खंड को समद्विभाजित करने का अर्थ है इसे दो बराबर भागों में विभाजित करना। इसके लिए परकार और पटरी का उपयोग किया जाता है।
चरण:
दिया हुआ रेखा खंड \( AB \) खींचें।
परकार को \( AB \) की लंबाई से अधिक खोलें।
बिंदु \( A \) से केंद्र बनाकर दो चाप खींचें।
बिंदु \( B \) से केंद्र बनाकर उसी त्रिज्या से दो चाप खींचें, जो पिछले चापों को काटें।
चापों के प्रतिच्छेदन बिंदु \( M \) को रेखा खंड \( AB \) के मध्य बिंदु के रूप में चिह्नित करें।
उदाहरण 1:
रेखा खंड \( AB = 6 \, \text{cm} \) को समद्विभाजित करें।
चरण:
1. \( AB = 6 \, \text{cm} \) की रेखा खींचें।
2. परकार को 3 cm से अधिक खोलें।
3. \( A \) से केंद्र बनाकर दो चाप खींचें।
4. \( B \) से उसी त्रिज्या से दो चाप खींचें जो आपस में काटें।
5. प्रतिच्छेदन बिंदु \( M \) को \( AB \) से मिलाएँ। \( AM = MB = 3 \, \text{cm} \) उत्तर: \( M \) मध्य बिंदु है।
उदाहरण 2:
रेखा खंड \( PQ = 8 \, \text{cm} \) को समद्विभाजित करें।
चरण:
1. \( PQ = 8 \, \text{cm} \) खींचें।
2. परकार को 4 cm से अधिक खोलें।
3. \( P \) से केंद्र बनाकर दो चाप खींचें।
4. \( Q \) से उसी त्रिज्या से दो चाप खींचें जो आपस में काटें।
5. प्रतिच्छेदन बिंदु \( O \) को \( PQ \) से मिलाएँ। \( PO = OQ = 4 \, \text{cm} \) उत्तर: \( O \) मध्य बिंदु है।
2. दिए हुए कोण के बराबर कोण की रचना करना
किसी दिए हुए कोण के बराबर कोण बनाने के लिए परकार और पटरी का उपयोग होता है।
चरण:
दिया हुआ कोण \( \angle ABC \) खींचें।
नई रेखा \( PQ \) खींचें।
परकार से \( B \) से चाप खींचकर \( AB \) और \( BC \) को काटें, मान लें प्रतिच्छेदन बिंदु \( D \) और \( E \)。
उसी त्रिज्या से \( P \) से चाप खींचकर \( PQ \) पर बिंदु \( R \) चिह्नित करें।
परकार को \( DE \) की दूरी पर सेट करें और \( R \) से चाप खींचकर \( S \) चिह्नित करें।
\( S \) को \( P \) से मिलाएँ। \( \angle RPQ = \angle ABC \)
उदाहरण 1:
\( \angle ABC = 60^\circ \) के बराबर कोण बनाएँ।
चरण:
1. \( \angle ABC = 60^\circ \) खींचें।
2. रेखा \( PQ \) खींचें।
3. \( B \) से चाप खींचकर \( AB \) और \( BC \) पर \( D \) और \( E \) चिह्नित करें।
4. \( P \) से उसी त्रिज्या से चाप खींचकर \( R \) चिह्नित करें।
5. परकार को \( DE \) की दूरी पर सेट करें और \( R \) से चाप खींचकर \( S \) चिह्नित करें।
6. \( S \) को \( P \) से मिलाएँ। उत्तर: \( \angle RPQ = 60^\circ \)
उदाहरण 2:
\( \angle XYZ = 45^\circ \) के बराबर कोण बनाएँ।
चरण:
1. \( \angle XYZ = 45^\circ \) खींचें।
2. रेखा \( MN \) खींचें।
3. \( Y \) से चाप खींचकर \( XY \) और \( YZ \) पर \( A \) और \( B \) चिह्नित करें।
4. \( M \) से उसी त्रिज्या से चाप खींचकर \( N \) चिह्नित करें।
5. परकार को \( AB \) की दूरी पर सेट करें और \( N \) से चाप खींचकर \( O \) चिह्नित करें।
6. \( O \) को \( M \) से मिलाएँ। उत्तर: \( \angle OMN = 45^\circ \)
3. दिए हुए कोण को समद्विभाजित करना
कोण को समद्विभाजित करने का अर्थ है उसे दो बराबर कोणों में विभाजित करना।
चरण:
दिया हुआ कोण \( \angle ABC \) खींचें।
बिंदु \( B \) से चाप खींचकर \( AB \) और \( BC \) पर दो बिंदु \( P \) और \( Q \) चिह्नित करें।
परकार को थोड़ा खोलकर \( P \) और \( Q \) से दो चाप खींचें जो आपस में काटें, बिंदु \( R \)。
\( R \) को \( B \) से मिलाएँ। यह रेखा कोण को समद्विभाजित करती है।
उदाहरण 1:
\( \angle ABC = 90^\circ \) को समद्विभाजित करें।
चरण:
1. \( \angle ABC = 90^\circ \) खींचें।
2. \( B \) से चाप खींचकर \( AB \) और \( BC \) पर \( P \) और \( Q \) चिह्नित करें।
3. \( P \) और \( Q \) से उसी त्रिज्या से चाप खींचकर \( R \) चिह्नित करें।
4. \( R \) को \( B \) से मिलाएँ। उत्तर: \( \angle ABR = \angle RBC = 45^\circ \)
उदाहरण 2:
\( \angle PQR = 120^\circ \) को समद्विभाजित करें।
चरण:
1. \( \angle PQR = 120^\circ \) खींचें।
2. \( Q \) से चाप खींचकर \( PQ \) और \( QR \) पर \( M \) और \( N \) चिह्नित करें।
3. \( M \) और \( N \) से उसी त्रिज्या से चाप खींचकर \( O \) चिह्नित करें।
4. \( O \) को \( Q \) से मिलाएँ। उत्तर: \( \angle PQO = \angle OQR = 60^\circ \)
4. दी हुई रेखा के समान्तर रेखा खींचना
किसी दी हुई रेखा के समान्तर रेखा खींचने के लिए एक बिंदु और परकार का उपयोग होता है।
चरण:
दी हुई रेखा \( AB \) और बिंदु \( P \) (रेखा के बाहर) लें।
\( P \) से रेखा \( AB \) पर कोई बिंदु \( Q \) चुनें और \( PQ \) खींचें।
\( \angle APQ \) की रचना \( P \) से शुरू होने वाली नई रेखा पर करें।
नई रेखा \( AB \) के समान्तर होगी।
उदाहरण 1:
रेखा \( AB \) के समान्तर बिंदु \( P \) से रेखा खींचें।
चरण:
1. रेखा \( AB \) और बिंदु \( P \) लें।
2. \( P \) से \( AB \) पर बिंदु \( Q \) चुनें और \( PQ \) खींचें।
3. \( \angle APQ \) को \( P \) से शुरू होने वाली रेखा \( XY \) पर रचें।
4. \( XY \) रेखा \( AB \) के समान्तर होगी। उत्तर: \( XY \parallel AB \)
उदाहरण 2:
रेखा \( MN \) के समान्तर बिंदु \( O \) से रेखा खींचें।
चरण:
1. रेखा \( MN \) और बिंदु \( O \) लें।
2. \( O \) से \( MN \) पर बिंदु \( Q \) चुनें और \( OQ \) खींचें।
3. \( \angle MNQ \) को \( O \) से शुरू होने वाली रेखा \( RS \) पर रचें।
4. \( RS \) रेखा \( MN \) के समान्तर होगी। उत्तर: \( RS \parallel MN \)
5. दिए गए रेखा खंड पर दिए गए बिंदु से लम्ब खींचना
(a) बिंदु रेखा खंड पर स्थित हो
रेखा खंड पर स्थित बिंदु से लम्ब खींचने के लिए:
चरण:
रेखा खंड \( AB \) और उस पर बिंदु \( P \) लें।
\( P \) से परकार की किसी त्रिज्या से दो चाप खींचें जो \( AB \) को \( M \) और \( N \) पर काटें।
\( M \) और \( N \) से परकार को थोड़ा खोलकर दो चाप खींचें जो आपस में \( Q \) पर काटें।
\( Q \) को \( P \) से मिलाएँ। \( PQ \perp AB \)
उदाहरण 1:
रेखा खंड \( AB \) पर बिंदु \( P \) से लम्ब खींचें।
चरण:
1. \( AB \) पर \( P \) चिह्नित करें।
2. \( P \) से चाप खींचकर \( AB \) पर \( M \) और \( N \) चिह्नित करें।
3. \( M \) और \( N \) से चाप खींचकर \( Q \) चिह्नित करें।
4. \( Q \) को \( P \) से मिलाएँ। उत्तर: \( PQ \perp AB \)
(b) बिंदु रेखा खंड के बाहर हो
रेखा खंड के बाहर बिंदु से लम्ब खींचने के लिए:
चरण:
रेखा खंड \( AB \) और बिंदु \( P \) (बाहर) लें।
\( P \) से चाप खींचकर \( AB \) को दो बिंदुओं \( M \) और \( N \) पर काटें।
\( M \) और \( N \) से चाप खींचकर \( Q \) चिह्नित करें।
\( Q \) को \( P \) से मिलाएँ। \( PQ \perp AB \)
उदाहरण 2:
रेखा खंड \( XY \) के बाहर बिंदु \( P \) से लम्ब खींचें।
चरण:
1. \( XY \) और \( P \) (बाहर) लें।
2. \( P \) से चाप खींचकर \( XY \) पर \( M \) और \( N \) चिह्नित करें।
3. \( M \) और \( N \) से चाप खींचकर \( Q \) चिह्नित करें।
4. \( Q \) को \( P \) से मिलाएँ। उत्तर: \( PQ \perp XY \)
महत्वपूर्ण बिंदु
रचनाएँ पटरी और परकार के उपयोग से सटीक ज्यामितीय आकृतियाँ बनाने की प्रक्रिया है।
रेखा खंड का समद्विभाजन मध्य बिंदु देता है।
कोण की रचना और समद्विभाजन कोणों को कॉपी करने और विभाजित करने में मदद करता है।
समान्तर रेखाएँ और लम्ब समान दूरी और \( 90^\circ \) कोण बनाते हैं।
25 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
1. रचनाओं में मुख्य रूप से किन उपकरणों का उपयोग होता है?
2. रेखा खंड को समद्विभाजित करने का क्या अर्थ है?
3. रेखा खंड के समद्विभाजन में परकार की त्रिज्या कितनी होनी चाहिए?
4. कोण की रचना करने के लिए पहला चरण क्या है?
5. कोण के समद्विभाजन में कितने चाप खींचे जाते हैं?
6. समान्तर रेखाएँ बनाने के लिए क्या आवश्यक है?
7. लम्ब रेखा का कोण कितना होता है?
8. रेखा खंड \( AB = 10 \, \text{cm} \) का मध्य बिंदु कितनी दूरी पर होगा?
9. कोण \( \angle ABC = 60^\circ \) का समद्विभाजन कितने डिग्री के कोण देगा?
10. समान्तर रेखाएँ बनाने के लिए कितने बिंदुओं की आवश्यकता होती है?
11. लम्ब खींचने के लिए परकार का उपयोग कैसे किया जाता है?
12. रेखा खंड के बाहर बिंदु से लम्ब खींचने का पहला चरण क्या है?
13. कोण \( \angle XYZ = 180^\circ \) का समद्विभाजन कितने डिग्री का होगा?
14. रेखा खंड \( PQ = 4 \, \text{cm} \) का मध्य बिंदु कितनी दूरी पर होगा?
15. समान्तर रेखाएँ बनाने के लिए कोण की रचना क्यों की जाती है?
16. लम्ब रेखा बनाने के लिए कितने चापों की आवश्यकता होती है?
17. कोण की रचना में परकार का उपयोग किस लिए होता है?
18. रेखा खंड के समद्विभाजन का मध्य बिंदु क्या होता है?
19. समान्तर रेखाएँ हमेशा होती हैं:
20. रेखा खंड पर लम्ब खींचने के लिए बिंदु कहाँ होना चाहिए?
21. कोण \( \angle PQR = 30^\circ \) का समद्विभाजन कितना होगा?
22. रेखा खंड \( XY = 12 \, \text{cm} \) का मध्य बिंदु कितनी दूरी पर होगा?
23. समान्तर रेखाएँ बनाने के लिए किस उपकरण की आवश्यकता होती है?
24. कोण की रचना में कितने चरण होते हैं?
25. लम्ब रेखा और रेखा खंड के बीच का कोण क्या होता है?