यह अध्याय त्रिभुजों और उनके गुणधर्मों पर केंद्रित है। हम पाइथागोरस प्रमेय, त्रिभुजों की रचना, शीर्षलम्ब, माध्यिकाएँ, लम्बार्धक, कोण समद्विभाजक, और समरूप त्रिभुजों के बारे में सीखेंगे। त्रिभुज तीन भुजाओं और तीन कोणों से बना एक बंद आकार होता है।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. पाइथागोरस प्रमेय की अवधारणा
पाइथागोरस प्रमेय समकोण त्रिभुज पर लागू होता है। यह कहता है कि समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। सूत्र: \( a^2 + b^2 = c^2 \), जहाँ \( c \) कर्ण है और \( a, b \) अन्य दो भुजाएँ हैं।
उदाहरण 1:
समकोण त्रिभुज में भुजाएँ 3 cm और 4 cm हैं। कर्ण ज्ञात करें।
पाइथागोरस प्रमेय का सत्यापन क्षेत्रफल के आधार पर या रचना द्वारा किया जा सकता है। समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) में \( \angle B = 90^\circ \), \( AB = 6 \, \text{cm}, BC = 8 \, \text{cm} \)。 सत्यापित करें।
पाइथागोरियन त्रिक तीन पूर्ण संख्याएँ \( (a, b, c) \) हैं, जो पाइथागोरस प्रमेय (\( a^2 + b^2 = c^2 \)) को संतुष्ट करती हैं। उदाहरण: (3, 4, 5), (5, 12, 13)।
उदाहरण 1:
क्या (6, 8, 10) पाइथागोरियन त्रिक है?
चरण:
1. \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
2. \( 10^2 = 100 \)
3. \( 36 + 64 = 100 \), जो सत्य है। उत्तर: हाँ, (6, 8, 10) पाइथागोरियन त्रिक है।
उदाहरण 2:
क्या (7, 8, 12) पाइथागोरियन त्रिक है?
चरण:
1. \( 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \)
2. \( 12^2 = 144 \)
3. \( 113 \neq 144 \), जो सत्य नहीं है। उत्तर: नहीं, (7, 8, 12) पाइथागोरियन त्रिक नहीं है।
4. भिन्न-भिन्न शर्तों के आधार पर त्रिभुजों की रचना
त्रिभुज की रचना विभिन्न शर्तों (जैसे तीन भुजाएँ, दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, आदि) के आधार पर की जाती है।
तीन भुजाएँ (SSS): तीन दी हुई भुजाओं की लंबाई के आधार पर।
दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण (SAS): दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो।
उदाहरण 1 (SSS):
त्रिभुज \( ABC \) बनाएँ जहाँ \( AB = 5 \, \text{cm}, BC = 6 \, \text{cm}, AC = 7 \, \text{cm} \)
चरण:
1. \( BC = 6 \, \text{cm} \) खींचें।
2. \( B \) से \( 5 \, \text{cm} \) त्रिज्या से चाप खींचें।
3. \( C \) से \( 7 \, \text{cm} \) त्रिज्या से चाप खींचें, जो पिछले चाप को \( A \) पर काटे।
4. \( A \) को \( B \) और \( C \) से मिलाएँ। उत्तर: त्रिभुज \( ABC \) बन गया।
उदाहरण 2 (SAS):
त्रिभुज \( PQR \) बनाएँ जहाँ \( PQ = 4 \, \text{cm}, QR = 5 \, \text{cm}, \angle Q = 60^\circ \)
चरण:
1. \( QR = 5 \, \text{cm} \) खींचें।
2. \( Q \) पर \( 60^\circ \) कोण बनाएँ।
3. \( Q \) से \( PQ = 4 \, \text{cm} \) नापें।
4. \( P \) को \( R \) से मिलाएँ। उत्तर: त्रिभुज \( PQR \) बन गया।
5. त्रिभुज के शीर्षलम्ब, लम्ब केन्द्र
शीर्षलम्ब (Altitude) एक शीर्ष से सामने वाली भुजा पर लम्ब होता है। सभी शीर्षलम्बों का प्रतिच्छेदन बिंदु लम्ब केन्द्र (Orthocentre) कहलाता है।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) में \( A \) से \( BC \) पर शीर्षलम्ब खींचें।
चरण:
1. त्रिभुज \( ABC \) खींचें।
2. \( A \) से \( BC \) पर लम्ब \( AD \) खींचें।
3. \( D \) वह बिंदु है जहाँ \( AD \perp BC \) उत्तर: शीर्षलम्ब \( AD \) बन गया।
उदाहरण 2:
त्रिभुज \( PQR \) में लम्ब केन्द्र ज्ञात करें।
चरण:
1. त्रिभुज \( PQR \) खींचें।
2. \( P \) से \( QR \), \( Q \) से \( PR \), और \( R \) से \( PQ \) पर शीर्षलम्ब खींचें।
3. तीनों शीर्षलम्बों का प्रतिच्छेदन बिंदु \( O \) लम्ब केन्द्र है। उत्तर: \( O \) लम्ब केन्द्र है।
6. त्रिभुज की माध्यिकाएँ एवं केन्द्रक
माध्यिका (Median) एक शीर्ष से सामने वाली भुजा के मध्य बिंदु तक की रेखा होती है। तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु केन्द्रक (Centroid) कहलाता है।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) में \( A \) से \( BC \) की माध्यिका खींचें।
चरण:
1. त्रिभुज \( ABC \) खींचें।
2. \( BC \) का मध्य बिंदु \( D \) ज्ञात करें।
3. \( A \) को \( D \) से मिलाएँ। उत्तर: माध्यिका \( AD \) बन गई।
उदाहरण 2:
त्रिभुज \( XYZ \) में केन्द्रक ज्ञात करें।
चरण:
1. त्रिभुज \( XYZ \) खींचें।
2. \( X \) से \( YZ \), \( Y \) से \( XZ \), और \( Z \) से \( XY \) की माध्यिकाएँ खींचें।
3. तीनों माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु \( G \) केन्द्रक है। उत्तर: \( G \) केन्द्रक है।
7. त्रिभुज की लम्बार्धक एवं परिकेन्द्र
लम्बार्धक (Perpendicular Bisector) एक भुजा के मध्य बिंदु से होकर उस भुजा पर लम्ब होती है। सभी लम्बार्धकों का प्रतिच्छेदन बिंदु परिकेन्द्र (Circumcentre) कहलाता है।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) में \( BC \) की लम्बार्धक खींचें।
चरण:
1. \( BC \) का मध्य बिंदु \( M \) ज्ञात करें।
2. \( M \) से \( BC \) पर लम्ब खींचें। उत्तर: लम्बार्धक बन गई।
उदाहरण 2:
त्रिभुज \( PQR \) में परिकेन्द्र ज्ञात करें।
चरण:
1. त्रिभुज \( PQR \) खींचें।
2. \( PQ \), \( QR \), और \( PR \) की लम्बार्धक खींचें।
3. तीनों लम्बार्धकों का प्रतिच्छेदन बिंदु \( O \) परिकेन्द्र है। उत्तर: \( O \) परिकेन्द्र है।
8. त्रिभुज के कोणों के समद्विभाजक एवं अन्तःकेन्द्र
कोण समद्विभाजक (Angle Bisector) एक कोण को दो बराबर भागों में बाँटता है। तीनों कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु अन्तःकेन्द्र (Incentre) कहलाता है।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) में \( \angle A \) का समद्विभाजक खींचें।
चरण:
1. त्रिभुज \( ABC \) खींचें।
2. \( A \) से चाप खींचकर \( AB \) और \( AC \) पर बिंदु चिह्नित करें।
3. इन बिंदुओं से चाप खींचकर प्रतिच्छेदन बिंदु \( D \) चिह्नित करें।
4. \( A \) को \( D \) से मिलाएँ। उत्तर: \( AD \) कोण समद्विभाजक है।
उदाहरण 2:
त्रिभुज \( XYZ \) में अन्तःकेन्द्र ज्ञात करें।
चरण:
1. त्रिभुज \( XYZ \) खींचें।
2. \( \angle X \), \( \angle Y \), और \( \angle Z \) के समद्विभाजक खींचें।
3. तीनों समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु \( I \) अन्तःकेन्द्र है। उत्तर: \( I \) अन्तःकेन्द्र है।
9. त्रिभुज के केन्द्रक, लम्ब केन्द्र, परिकेन्द्र और अन्तःकेन्द्र
ये चार बिंदु त्रिभुज के महत्वपूर्ण केन्द्र हैं:
केन्द्रक (Centroid): माध्यिकाओं का प्रतिच्छेदन, त्रिभुज को संतुलित करता है।
लम्ब केन्द्र (Orthocentre): शीर्षलम्बों का प्रतिच्छेदन।
परिकेन्द्र (Circumcentre): लम्बार्धकों का प्रतिच्छेदन, परिकेन्द्रीय वृत्त का केन्द्र।
अन्तःकेन्द्र (Incentre): कोण समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन, अन्तःकेन्द्रीय वृत्त का केन्द्र।
10. समरूप त्रिभुज के गुणधर्म
समरूप त्रिभुजों के कोण बराबर होते हैं और उनकी भुजाएँ समानुपाती होती हैं। समरूपता के लिए:
AAA (कोण-कोण-कोण): तीनों कोण बराबर।
SSS (भुजा-भुजा-भुजा): भुजाएँ समानुपाती।
SAS (भुजा-कोण-भुजा): दो भुजाएँ समानुपाती और उनके बीच का कोण बराबर।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) और \( DEF \) में \( \angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F \)。 क्या वे समरूप हैं?
चरण:
1. AAA समरूपता नियम के अनुसार, यदि तीनों कोण बराबर हैं, तो त्रिभुज समरूप हैं। उत्तर: हाँ, \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)
उदाहरण 2:
त्रिभुज \( PQR \) और \( XYZ \) में \( \frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ} = 2 \)。 क्या वे समरूप हैं?
चरण:
1. SSS समरूपता नियम के अनुसार, यदि भुजाएँ समानुपाती हैं, तो त्रिभुज समरूप हैं। उत्तर: हाँ, \( \triangle PQR \sim \triangle XYZ \)
11. दी गई भुजाओं के अनुपात के आधार पर समरूप त्रिभुजों की रचना
समरूप त्रिभुज बनाने के लिए एक त्रिभुज की भुजाओं को दिए गए अनुपात से गुणा या भाग करके नया त्रिभुज बनाया जाता है।
उदाहरण 1:
त्रिभुज \( ABC \) (\( AB = 3 \, \text{cm}, BC = 4 \, \text{cm}, AC = 5 \, \text{cm} \)) के समरूप त्रिभुज बनाएँ जिसका अनुपात 2:1 हो।
चरण:
1. नई भुजाएँ: \( AB' = \frac{3}{2} = 1.5 \, \text{cm}, BC' = \frac{4}{2} = 2 \, \text{cm}, AC' = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm} \)
2. \( BC' = 2 \, \text{cm} \) खींचें।
3. \( B' \) से \( 1.5 \, \text{cm} \) और \( C' \) से \( 2.5 \, \text{cm} \) चाप खींचकर \( A' \) प्राप्त करें।
4. \( A' \) को \( B' \) और \( C' \) से मिलाएँ। उत्तर: त्रिभुज \( A'B'C' \) समरूप है।
उदाहरण 2:
त्रिभुज \( XYZ \) (\( XY = 6 \, \text{cm}, YZ = 8 \, \text{cm}, XZ = 10 \, \text{cm} \)) के समरूप त्रिभुज बनाएँ जिसका अनुपात 1:2 हो।