रेखीय समीकरण एक चर वाले समीकरण होते हैं, जिनमें चर की घात 1 होती है। इन्हें \( ax + b = c \) या \( ax + b = cx + d \) जैसे रूप में लिखा जाता है। इस अध्याय में हम रेखीय समीकरणों को हल करना, विशेष रूप से \( ax + b = cx + d \) प्रकार के समीकरणों को, और बज्रगुणन विधि (transposition method) का उपयोग करना सीखेंगे। साथ ही, वार्तिक प्रश्नों के माध्यम से इनका व्यावहारिक उपयोग समझेंगे।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. रेखीय समीकरण और उनका हल
रेखीय समीकरण एक चर वाला समीकरण होता है, जिसमें चर की घात 1 होती है। उदाहरण: \( 2x + 3 = 7 \)。 इसे हल करने के लिए, हम चर को एक तरफ और स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाते हैं।
हल करने के चरण:
समीकरण को सरल करें।
सभी चर वाले पदों को एक तरफ और स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाएँ।
चर के गुणांक को हटाकर चर का मान प्राप्त करें।
उदाहरण 1:
समीकरण \( 3x + 5 = 11 \) को हल करें।
चरण:
1. \( 3x + 5 = 11 \)
2. दोनों तरफ से 5 घटाएँ: \( 3x = 11 - 5 = 6 \)
3. दोनों तरफ 3 से भाग दें: \( x = \frac{6}{3} = 2 \) उत्तर: \( x = 2 \)
उदाहरण 2:
समीकरण \( 4x - 7 = 9 \) को हल करें।
चरण:
1. \( 4x - 7 = 9 \)
2. दोनों तरफ 7 जोड़ें: \( 4x = 9 + 7 = 16 \)
3. दोनों तरफ 4 से भाग दें: \( x = \frac{16}{4} = 4 \) उत्तर: \( x = 4 \)
2. \( ax + b = cx + d \) (a ≠ c) प्रकार के रेखीय समीकरणों का हल
इस प्रकार के समीकरणों में चर दोनों तरफ मौजूद होता है। इसे हल करने के लिए चर को एक तरफ और स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाते हैं।
चरण:
सभी \( x \) वाले पदों को एक तरफ ले जाएँ।
सभी स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाएँ।
चर के गुणांक को हटाएँ।
उदाहरण 1:
समीकरण \( 2x + 3 = 5x - 6 \) को हल करें।
चरण:
1. \( 2x + 3 = 5x - 6 \)
2. \( 5x \) को बाएँ और \( 3 \) को दाएँ ले जाएँ: \( 2x - 5x = -6 - 3 \)
3. \( -3x = -9 \)
4. दोनों तरफ \(-3\) से भाग दें: \( x = \frac{-9}{-3} = 3 \) उत्तर: \( x = 3 \)
उदाहरण 2:
समीकरण \( 7x - 4 = 3x + 8 \) को हल करें।
चरण:
1. \( 7x - 4 = 3x + 8 \)
2. \( 3x \) को बाएँ और \(-4\) को दाएँ ले जाएँ: \( 7x - 3x = 8 + 4 \)
3. \( 4x = 12 \)
4. दोनों तरफ 4 से भाग दें: \( x = \frac{12}{4} = 3 \) उत्तर: \( x = 3 \)
3. बज्रगुणन विधि द्वारा रेखीय समीकरणों का हल
बज्रगुणन विधि (transposition method) में, हम समीकरण के पदों को एक तरफ से दूसरी तरफ ले जाते हैं, जिसमें संकेत बदल जाता है (जैसे, \( + \) से \( - \), और \( \times \) से \( \div \))।
चरण:
पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ, संकेत बदलकर।
समीकरण को सरल करें।
चर का मान प्राप्त करें।
उदाहरण 1:
समीकरण \( 5x + 2 = 17 \) को बज्रगुणन विधि से हल करें।
चरण:
1. \( 5x + 2 = 17 \)
2. \( +2 \) को दाएँ ले जाएँ: \( 5x = 17 - 2 \)
3. \( 5x = 15 \)
4. \( 5 \) से भाग दें: \( x = \frac{15}{5} = 3 \) उत्तर: \( x = 3 \)
उदाहरण 2:
समीकरण \( 3x - 8 = 4x + 5 \) को बज्रगुणन विधि से हल करें।
चरण:
1. \( 3x - 8 = 4x + 5 \)
2. \( 4x \) को बाएँ और \(-8\) को दाएँ ले जाएँ: \( 3x - 4x = 5 + 8 \)
3. \( -x = 13 \)
4. दोनों तरफ \(-1\) से भाग दें: \( x = -13 \) उत्तर: \( x = -13 \)
4. रेखीय समीकरणों पर आधारित 10 महत्वपूर्ण वार्तिक प्रश्न
प्रश्न 1:
एक संख्या का दोगुना और 5 का योग 11 है। संख्या ज्ञात करें।
चरण:
1. संख्या को \( x \) मानें।
2. समीकरण: \( 2x + 5 = 11 \)
3. \( 2x = 11 - 5 = 6 \)
4. \( x = \frac{6}{2} = 3 \) उत्तर: संख्या = 3
प्रश्न 2:
एक संख्या का तीन गुना और 4 का अंतर 8 है। संख्या ज्ञात करें।
चरण:
1. संख्या को \( x \) मानें।
2. समीकरण: \( 3x - 4 = 8 \)
3. \( 3x = 8 + 4 = 12 \)
4. \( x = \frac{12}{3} = 4 \) उत्तर: संख्या = 4
प्रश्न 3:
एक व्यक्ति की आयु का पाँच गुना उसकी आयु के तीन गुना और 10 के योग के बराबर है। आयु ज्ञात करें।
प्रश्न 9:
एक संख्या का आधा और 7 का योग 10 है। संख्या ज्ञात करें।
चरण:
1. संख्या को \( x \) मानें।
2. समीकरण: \( \frac{x}{2} + 7 = 10 \)
3. \( \frac{x}{2} = 10 - 7 = 3 \)
4. \( x = 3 \times 2 = 6 \) उत्तर: संख्या = 6
प्रश्न 10:
दो संख्याओं का योग 18 है और उनका अंतर 4 है। छोटी संख्या ज्ञात करें।
चरण:
1. छोटी संख्या को \( x \) और बड़ी को \( y \) मानें।
2. समीकरण: \( x + y = 18 \), \( y - x = 4 \)
3. दूसरा समीकरण: \( y = x + 4 \)
4. पहले समीकरण में रखें: \( x + (x + 4) = 18 \)
5. \( 2x + 4 = 18 \)
6. \( 2x = 14 \)
7. \( x = \frac{14}{2} = 7 \) उत्तर: छोटी संख्या = 7
महत्वपूर्ण बिंदु
रेखीय समीकरण में चर की घात 1 होती है।
समीकरण को हल करने के लिए चर को एक तरफ और स्थिरांक को दूसरी तरफ ले जाएँ।
बज्रगुणन विधि में पदों का संकेत बदलकर दूसरी तरफ ले जाया जाता है।
वार्तिक प्रश्न समीकरण बनाकर हल किए जाते हैं।
25 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
1. रेखीय समीकरण में चर की अधिकतम घात कितनी होती है?
2. समीकरण \( 2x + 3 = 7 \) का हल क्या है?
3. बज्रगुणन विधि में क्या किया जाता है?
4. समीकरण \( 5x - 2 = 3x + 4 \) का हल क्या है?
5. यदि एक संख्या का दोगुना और 3 का योग 9 है, तो संख्या क्या है?
6. समीकरण \( 4x + 6 = 10 \) का हल क्या है?
7. \( ax + b = cx + d \) में चर को एक तरफ ले जाने के लिए क्या करें?
8. समीकरण \( 6x - 3 = 2x + 5 \) का हल क्या है?
9. एक संख्या का तीन गुना और 2 का अंतर 7 है। संख्या क्या है?
10. समीकरण \( 3x + 4 = 7x - 8 \) का हल क्या है?
11. बज्रगुणन विधि में \( +5 \) को दूसरी तरफ ले जाने पर क्या होगा?