यह अध्याय वाणिज्य गणित पर केंद्रित है, जिसमें समानुपात, अनुलोम और प्रतिलोम समानुपात, प्रतिशतता का अनुप्रयोग (लाभ, हानि, बट्टा, आयकर, बिक्रीकर, साधारण ब्याज), चक्रवृद्धि ब्याज, और कर के प्रकार शामिल हैं। ये अवधारणाएँ दैनिक जीवन और वित्तीय गणनाओं में उपयोगी हैं।
विस्तृत अवधारणाएँ
1. समानुपात
समानुपात दो अनुपातों की समानता है। यदि \( a:b = c:d \), तो \( a \times d = b \times c \)。 इसे \( a:b :: c:d \) लिखा जाता है।
चतुर्थ समानुपाती: यदि \( a:b = c:d \), तो \( d \) चतुर्थ समानुपाती है।
माध्य समानुपाती: यदि \( a:b = b:c \), तो \( b \) माध्य समानुपाती है।
उदाहरण 1:
यदि \( 2:3 = 4:x \), तो \( x \) ज्ञात करें।
प्रश्न 1:
3 व्यक्तियों को 12 दिन में एक कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा यदि 4 व्यक्तियों को 9 दिन लगते हैं?
चरण:
1. 4 व्यक्तियों का 9 दिन = \( 4 \times 9 = 36 \) व्यक्ति-दिन।
2. 3 व्यक्तियों के लिए समय = \( \frac{36}{3} = 12 \) दिन। उत्तर: 12 दिन
प्रश्न 2:
यदि 5 किताबों की कीमत 200 रुपये है, तो 8 किताबों की कीमत क्या होगी?
चरण:
1. 5 किताबें : 200 रुपये = 8 किताबें : \( x \) रुपये
2. \( 5:200 = 8:x \implies 5x = 200 \times 8 \)
3. \( 5x = 1600 \implies x = \frac{1600}{5} = 320 \) उत्तर: 320 रुपये
प्रश्न 3:
6 मशीनें 12 दिन में एक कार्य पूरा करती हैं। 8 मशीनें कितने दिन में पूरा करेंगी?
चरण:
1. 6 मशीनों का 12 दिन = \( 6 \times 12 = 72 \) मशीन-दिन।
2. 8 मशीनों के लिए समय = \( \frac{72}{8} = 9 \) दिन। उत्तर: 9 दिन
प्रश्न 4:
यदि 2 किलो सेब की कीमत 80 रुपये है, तो 5 किलो सेब की कीमत क्या होगी?
चरण:
1. 2 किलो : 80 रुपये = 5 किलो : \( x \) रुपये
2. \( 2:80 = 5:x \implies 2x = 80 \times 5 \)
3. \( 2x = 400 \implies x = \frac{400}{2} = 200 \) उत्तर: 200 रुपये
प्रश्न 5:
10 पेन 50 रुपये में खरीदे गए। 15 पेन की कीमत क्या होगी?
चरण:
1. 10 पेन : 50 रुपये = 15 पेन : \( x \) रुपये
2. \( 10:50 = 15:x \implies 10x = 50 \times 15 \)
3. \( 10x = 750 \implies x = \frac{750}{10} = 75 \) उत्तर: 75 रुपये
2. अनुलोम और प्रतिलोम समानुपात
अनुलोम समानुपात: यदि एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि भी बढ़ती है, तो यह अनुलोम समानुपात है। जैसे, \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \)。 प्रतिलोम समानुपात: यदि एक राशि बढ़ने पर दूसरी राशि घटती है, तो यह प्रतिलोम समानुपात है। जैसे, \( a \times b = c \times d \।
उदाहरण 1 (अनुलोम):
यदि 3 किलो चावल की कीमत 120 रुपये है, तो 7 किलो की कीमत क्या होगी?
प्रश्न 5 (बिक्रीकर):
एक वस्तु का मूल्य 500 रुपये है और 5% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
चरण:
1. बिक्रीकर = \( \frac{5}{100} \times 500 = 25 \) रुपये
2. कुल मूल्य = \( 500 + 25 = 525 \) रुपये उत्तर: 525 रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज का अर्थ
चक्रवृद्धि ब्याज वह ब्याज है जो मूलधन और पहले से अर्जित ब्याज पर गणना किया जाता है। यह साधारण ब्याज से भिन्न होता है, क्योंकि इसमें ब्याज हर अवधि में मूलधन में जुड़ता जाता है।
उदाहरण 1:
1000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक चक्रवृद्धि) क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{1000 \times 10}{100} = 100 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 1000 + 100 = 1100 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{1100 \times 10}{100} = 110 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 100 + 110 = 210 \) रुपये उत्तर: 210 रुपये
वार्तिक प्रश्न
प्रश्न 1:
2000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{2000 \times 5}{100} = 100 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 2000 + 100 = 2100 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{2100 \times 5}{100} = 105 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 100 + 105 = 205 \) रुपये उत्तर: 205 रुपये
प्रश्न 2:
3000 रुपये पर 4% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{3000 \times 4}{100} = 120 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 3000 + 120 = 3120 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{3120 \times 4}{100} = 124.8 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 120 + 124.8 = 244.8 \) रुपये उत्तर: 244.8 रुपये
प्रश्न 3:
5000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{5000 \times 10}{100} = 500 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 5000 + 500 = 5500 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{5500 \times 10}{100} = 550 \) रुपये
4. मिश्रधन = \( 5500 + 550 = 6050 \) रुपये उत्तर: 6050 रुपये
प्रश्न 4:
1000 रुपये पर 20% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{1000 \times 20}{100} = 200 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 1000 + 200 = 1200 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{1200 \times 20}{100} = 240 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 200 + 240 = 440 \) रुपये उत्तर: 440 रुपये
प्रश्न 5:
4000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{4000 \times 5}{100} = 200 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 4000 + 200 = 4200 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{4200 \times 5}{100} = 210 \) रुपये
4. मिश्रधन = \( 4200 + 210 = 4410 \) रुपये उत्तर: 4410 रुपये
5. ऐकिक नियम द्वारा चक्रवृद्धि मिश्रधन एवं चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करना
ऐकिक नियम में प्रत्येक अवधि का ब्याज गणना करके मूलधन में जोड़ा जाता है, और अगली अवधि के लिए नया मूलधन लिया जाता है।
उदाहरण 1:
2000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन (ऐकिक नियम) क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{2000 \times 5}{100} = 100 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 2000 + 100 = 2100 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{2100 \times 5}{100} = 105 \) रुपये
4. मिश्रधन = \( 2100 + 105 = 2205 \) रुपये उत्तर: 2205 रुपये
वार्तिक प्रश्न
प्रश्न 1:
3000 रुपये पर 6% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{3000 \times 6}{100} = 180 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 3000 + 180 = 3180 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{3180 \times 6}{100} = 190.8 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 180 + 190.8 = 370.8 \) रुपये उत्तर: 370.8 रुपये
प्रश्न 2:
5000 रुपये पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{5000 \times 8}{100} = 400 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 5000 + 400 = 5400 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{5400 \times 8}{100} = 432 \) रुपये
4. मिश्रधन = \( 5400 + 432 = 5832 \) रुपये उत्तर: 5832 रुपये
प्रश्न 3:
1000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{1000 \times 10}{100} = 100 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 1000 + 100 = 1100 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{1100 \times 10}{100} = 110 \) रुपये
4. नया मूलधन = \( 1100 + 110 = 1210 \) रुपये
5. तीसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{1210 \times 10}{100} = 121 \) रुपये
6. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 100 + 110 + 121 = 331 \) रुपये उत्तर: 331 रुपये
प्रश्न 4:
4000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{4000 \times 5}{100} = 200 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 4000 + 200 = 4200 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{4200 \times 5}{100} = 210 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 200 + 210 = 410 \) रुपये उत्तर: 410 रुपये
प्रश्न 5:
6000 रुपये पर 4% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन क्या है?
चरण:
1. पहले वर्ष का ब्याज = \( \frac{6000 \times 4}{100} = 240 \) रुपये
2. नया मूलधन = \( 6000 + 240 = 6240 \) रुपये
3. दूसरे वर्ष का ब्याज = \( \frac{6240 \times 4}{100} = 249.6 \) रुपये
4. मिश्रधन = \( 6240 + 249.6 = 6489.6 \) रुपये उत्तर: 6489.6 रुपये
6. चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र तथा उसका अनुप्रयोग
चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र: \( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \), जहाँ \( A \) मिश्रधन, \( P \) मूलधन, \( R \) ब्याज दर, \( n \) समय (वर्षों में)।
चक्रवृद्धि ब्याज = \( A - P \)
उदाहरण 1:
2000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन (सूत्र द्वारा) क्या है?
चरण:
1. \( A = 2000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 2000 \times (1.05)^2 \)
2. \( (1.05)^2 = 1.1025 \)
3. \( A = 2000 \times 1.1025 = 2205 \) रुपये उत्तर: 2205 रुपये
वार्तिक प्रश्न
प्रश्न 1:
3000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. \( A = 3000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 3000 \times (1.1)^2 \)
2. \( (1.1)^2 = 1.21 \)
3. \( A = 3000 \times 1.21 = 3630 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 3630 - 3000 = 630 \) रुपये उत्तर: 630 रुपये
प्रश्न 2:
5000 रुपये पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन क्या है?
चरण:
1. \( A = 5000 \left(1 + \frac{8}{100}\right)^2 = 5000 \times (1.08)^2 \)
2. \( (1.08)^2 = 1.1664 \)
3. \( A = 5000 \times 1.1664 = 5832 \) रुपये उत्तर: 5832 रुपये
प्रश्न 3:
10000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. \( A = 10000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 = 10000 \times (1.05)^3 \)
2. \( (1.05)^3 = 1.157625 \)
3. \( A = 10000 \times 1.157625 = 11576.25 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 11576.25 - 10000 = 1576.25 \) रुपये उत्तर: 1576.25 रुपये
प्रश्न 4:
2000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन क्या है?
चरण:
1. \( A = 2000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 2000 \times (1.1)^2 \)
2. \( (1.1)^2 = 1.21 \)
3. \( A = 2000 \times 1.21 = 2420 \) रुपये उत्तर: 2420 रुपये
प्रश्न 5:
4000 रुपये पर 6% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
चरण:
1. \( A = 4000 \left(1 + \frac{6}{100}\right)^2 = 4000 \times (1.06)^2 \)
2. \( (1.06)^2 = 1.1236 \)
3. \( A = 4000 \times 1.1236 = 4494.4 \) रुपये
4. चक्रवृद्धि ब्याज = \( 4494.4 - 4000 = 494.4 \) रुपये उत्तर: 494.4 रुपये
7. कर (Tax) एवं कर के प्रकार
कर सरकार द्वारा ली जाने वाली राशि है। इसके प्रकार:
आयकर: व्यक्ति की आय पर लगता है।
बिक्रीकर: वस्तुओं की बिक्री पर लगता है।
सेवाकर: सेवाओं पर लगता है।
उदाहरण 1:
एक वस्तु का मूल्य 1000 रुपये है और 10% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
चरण:
1. बिक्रीकर = \( \frac{10}{100} \times 1000 = 100 \) रुपये
2. कुल मूल्य = \( 1000 + 100 = 1100 \) रुपये उत्तर: 1100 रुपये
वार्तिक प्रश्न
प्रश्न 1:
एक वस्तु का मूल्य 2000 रुपये है और 5% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
चरण:
1. बिक्रीकर = \( \frac{5}{100} \times 2000 = 100 \) रुपये
2. कुल मूल्य = \( 2000 + 100 = 2100 \) रुपये उत्तर: 2100 रुपये
प्रश्न 2:
एक व्यक्ति की आय 50000 रुपये है और 10% आयकर लगता है। आयकर क्या है?
चरण:
1. आयकर = \( \frac{10}{100} \times 50000 = 5000 \) रुपये उत्तर: 5000 रुपये
प्रश्न 3:
एक वस्तु का मूल्य 3000 रुपये है और 8% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
चरण:
1. बिक्रीकर = \( \frac{8}{100} \times 3000 = 240 \) रुपये
2. कुल मूल्य = \( 3000 + 240 = 3240 \) रुपये उत्तर: 3240 रुपये
प्रश्न 4:
एक वस्तु का मूल्य 1500 रुपये है और 6% बिक्रीकर लगता है। बिक्रीकर क्या है?
चरण:
1. बिक्रीकर = \( \frac{6}{100} \times 1500 = 90 \) रुपये उत्तर: 90 रुपये
प्रश्न 5:
एक व्यक्ति की आय 40000 रुपये है और 5% आयकर लगता है। शुद्ध आय क्या है?
चरण:
1. आयकर = \( \frac{5}{100} \times 40000 = 2000 \) रुपये
2. शुद्ध आय = \( 40000 - 2000 = 38000 \) रुपये उत्तर: 38000 रुपये
महत्वपूर्ण बिंदु
समानुपात: \( a:b = c:d \implies a \times d = b \times c \)
अनुलोम समानुपात में एक राशि बढ़ने पर दूसरी बढ़ती है।
प्रतिलोम समानुपात में एक राशि बढ़ने पर दूसरी घटती है।
प्रतिशतता: लाभ, हानि, बट्टा, साधारण ब्याज आदि की गणना।
चक्रवृद्धि ब्याज: मूलधन और अर्जित ब्याज पर ब्याज।
चक्रवृद्धि मिश्रधन: \( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^n \)
कर: आयकर, बिक्रीकर, सेवाकर आदि।
50 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
1. समानुपात में यदि \( a:b = c:d \), तो क्या सत्य है?
2. यदि \( 3:6 = 5:x \), तो \( x \) क्या है?
3. अनुलोम समानुपात में क्या होता है?
4. प्रतिलोम समानुपात में क्या होता है?
5. यदि 4 व्यक्ति 16 दिन में एक कार्य पूरा करते हैं, तो 8 व्यक्ति कितने दिन में करेंगे?
6. यदि 5 किलो चावल की कीमत 200 रुपये है, तो 10 किलो की कीमत क्या होगी?
7. लाभ\% की गणना का सूत्र क्या है?
8. एक वस्तु 500 रुपये में खरीदी और 600 रुपये में बेची। लाभ\% क्या है?
9. एक वस्तु 1000 रुपये में खरीदी और 900 रुपये में बेची। हानि\% क्या है?
10. एक वस्तु का अंकित मूल्य 2000 रुपये है और 20% बट्टा दिया जाता है। विक्रय मूल्य क्या है?
11. साधारण ब्याज का सूत्र क्या है?
12. 2000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज क्या है?
13. एक वस्तु का मूल्य 1000 रुपये है और 8% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
14. चक्रवृद्धि ब्याज में क्या गणना की जाती है?
15. 1000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (ऐकिक नियम) क्या है?
16. चक्रवृद्धि मिश्रधन का सूत्र क्या है?
17. 2000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन (सूत्र) क्या है?
18. आयकर किस पर लगता है?
19. एक वस्तु का मूल्य 1500 रुपये है और 10% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
20. यदि \( 4:8 = 6:x \), तो \( x \) क्या है?
21. 6 मजदूर 15 दिन में एक कार्य पूरा करते हैं। 10 मजदूर कितने दिन में करेंगे?
22. 3 किलो सेब की कीमत 120 रुपये है। 7 किलो की कीमत क्या होगी?
23. एक वस्तु 700 रुपये में खरीदी और 840 रुपये में बेची। लाभ % क्या है?
24. एक वस्तु 1200 रुपये में खरीदी और 1000 रुपये में बेची। हानि\% क्या है?
25. एक वस्तु का अंकित मूल्य 500 रुपये है और 5% बट्टा दिया जाता है। विक्रय मूल्य क्या है?
26. 3000 रुपये पर 4% वार्षिक दर से 3 वर्ष का साधारण ब्याज क्या है?
27. एक व्यक्ति की आय 60000 रुपये है और 10% आयकर लगता है। आयकर क्या है?
28. यदि \( 5:10 = x:40 \), तो \( x \) क्या है?
29. 8 मशीनें 12 दिन में एक कार्य पूरा करती हैं। 6 मशीनें कितने दिन में करेंगी?
30. 2 किलो दूध की कीमत 80 रुपये है। 4 किलो की कीमत क्या होगी?
31. एक वस्तु 400 रुपये में खरीदी और 480 रुपये में बेची। लाभ\% क्या है?
32. एक वस्तु 1500 रुपये में खरीदी और 1200 रुपये में बेची। हानि\% क्या है?
33. एक वस्तु का अंकित मूल्य 1000 रुपये है और 15% बट्टा दिया जाता है। विक्रय मूल्य क्या है?
34. 4000 रुपये पर 6% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज क्या है?
35. एक वस्तु का मूल्य 2000 रुपये है और 12% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
36. 2000 रुपये पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (ऐकिक नियम) क्या है?
37. 3000 रुपये पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन (सूत्र) क्या है?
38. बिक्रीकर किस पर लगता है?
39. एक व्यक्ति की आय 50000 रुपये है और 8% आयकर लगता है। शुद्ध आय क्या है?
40. यदि \( 6:12 = 8:x \), तो \( x \) क्या है?
41. 5 व्यक्ति 20 दिन में एक कार्य पूरा करते हैं। 4 व्यक्ति कितने दिन में करेंगे?
42. 4 किलो चीनी की कीमत 160 रुपये है। 6 किलो की कीमत क्या होगी?
43. एक वस्तु 800 रुपये में खरीदी और 960 रुपये में बेची। लाभ\% क्या है?
44. एक वस्तु 2000 रुपये में खरीदी और 1800 रुपये में बेची। हानि\% क्या है?
45. एक वस्तु का अंकित मूल्य 3000 रुपये है और 10% बट्टा दिया जाता है। विक्रय मूल्य क्या है?
46. 5000 रुपये पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज क्या है?
47. एक वस्तु का मूल्य 2500 रुपये है और 6% बिक्रीकर लगता है। कुल मूल्य क्या है?
48. 4000 रुपये पर 6% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (ऐकिक नियम) क्या है?
49. 5000 रुपये पर 8% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि मिश्रधन (सूत्र) क्या है?