बीजगणित में, व्यंजकों का गुणनफल दो या अधिक बीजीय व्यंजकों को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। यह प्रक्रिया वितरण नियम (Distributive Law) और बीजगणित के मूल नियमों पर आधारित होती है।
एकपदी × एकपदी: दो एकपदियों का गुणनफल एक नया एकपदी होता है। उदाहरण: \( 3x \times 2y = 6xy \)
एकपदी × बहुपदी: एकपदी को बहुपदी के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। उदाहरण: \( 2x (x + 3) = 2x^2 + 6x \)
बहुपदी × बहुपदी: प्रत्येक बहुपदी के सभी पदों को एक-दूसरे से गुणा किया जाता है। उदाहरण: \( (x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6 \)
उदाहरण 2: \( (2x + 1)(x + 3) \) का गुणनफल निकालें।
हल: \( 2x \times x + 2x \times 3 + 1 \times x + 1 \times 3 = 2x^2 + 6x + x + 3 = 2x^2 + 7x + 3 \)
2. सर्वसमिकाएँ
सर्वसमिकाएँ विशेष बीजीय व्यंजक हैं जो सभी मानों के लिए सत्य होती हैं। ये निम्नलिखित हैं:
सर्वसमिका 1: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
यह सर्वसमिका कहती है कि किसी द्विपद के वर्ग का विस्तार करने पर तीन पद प्राप्त होते हैं।
सर्वसमिका 2: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
यह द्विपद के वर्ग का दूसरा रूप है, जहाँ दो चरों का अंतर लिया जाता है।
सर्वसमिका 3: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
यह दो द्विपदों के गुणनफल को अंतर के वर्ग के रूप में व्यक्त करता है।
उदाहरण 3: \( (2x + 3)^2 \) का विस्तार करें।
हल: सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = 2x \), \( b = 3 \):
\( (2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9 \)
उदाहरण 4: \( (x - 5)^2 \) का विस्तार करें।
हल: सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = x \), \( b = 5 \):
\( (x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25 \)
उदाहरण 5: \( (3x + 2)(3x - 2) \) का गुणनफल निकालें।
हल: सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = 3x \), \( b = 2 \):
\( (3x + 2)(3x - 2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4 \)
3. समीकरण एवं सर्वसमिका में अंतर
समीकरण और सर्वसमिका के बीच निम्नलिखित अंतर हैं:
समीकरण: एक समीकरण दो व्यंजकों को बराबर करता है, जो केवल कुछ विशेष मानों के लिए सत्य होता है। उदाहरण: \( 2x + 3 = 7 \) केवल \( x = 2 \) के लिए सत्य है।
सर्वसमिका: एक सर्वसमिका सभी संभव मानों के लिए सत्य होती है। उदाहरण: \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \) हर \( x \) और \( y \) के लिए सत्य है।
प्रकृति: समीकरण में अज्ञात चर का मान निकाला जाता है, जबकि सर्वसमिका में कोई अज्ञात नहीं होता; यह एक नियम है।
उपयोग: समीकरण समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग होते हैं, जबकि सर्वसमिकाएँ व्यंजकों को सरल करने या विस्तार करने में सहायक होती हैं।
उदाहरण 6: समीकरण \( 3x - 5 = 10 \) को हल करें।
हल: \( 3x = 15 \implies x = 5 \)
यह केवल \( x = 5 \) के लिए सत्य है, अतः यह एक समीकरण है।
सर्वसमिका उदाहरण: \( (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \), जो सभी \( x \) के लिए सत्य है।
4. सर्वसमिकाओं का अनुप्रयोग
सर्वसमिकाएँ बीजगणित में निम्नलिखित क्षेत्रों में उपयोगी हैं:
विस्तारण: जटिल व्यंजकों को सरल करने के लिए। जैसे \( (x + 3)^2 \) का विस्तार।
गुणनखंड: व्यंजकों को उनके गुणनखंडों में तोड़ने के लिए। जैसे \( x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) \).
क्षेत्रफल और आयतन: ज्यामितीय समस्याओं में, जैसे वर्ग या आयत का क्षेत्रफल। उदाहरण: यदि एक वर्ग की भुजा \( (x + 2) \) है, तो क्षेत्रफल \( (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \).
समीकरण सरलीकरण: समीकरणों को सरल करने में, जैसे \( (x + 1)(x - 1) = x^2 - 1 \)。
प्रमाणीकरण: बीजीय गुणों को सिद्ध करने में।
उदाहरण 7: एक वर्ग का क्षेत्रफल \( (2x + 5)^2 \) है। इसे विस्तारित करें।
हल: \( (2x + 5)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 + 20x + 25 \)
5. सर्वसमिकाओं से महत्वपूर्ण वार्तिक प्रश्न
सर्वसमिका 1: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
प्रश्न 1: एक वर्ग की भुजा की लंबाई \( (x + 4) \) मीटर है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल: वर्ग का क्षेत्रफल = \( (\text{भुजा})^2 \)
यहाँ भुजा = \( (x + 4) \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करें, जहाँ \( a = x \), \( b = 4 \):
\( (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \)
अतः, क्षेत्रफल = \( x^2 + 8x + 16 \) वर्ग मीटर।
प्रश्न 2: यदि \( x = 3 \) हो, तो \( (2x + 1)^2 \) का मान निकालें।
हल: सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = 2x \), \( b = 1 \):
\( (2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1 \)
अब \( x = 3 \) डालें:
\( 4(3)^2 + 4 \cdot 3 + 1 = 4 \cdot 9 + 12 + 1 = 36 + 12 + 1 = 49 \)
अतः, मान = 49।
प्रश्न 3: एक आयत की लंबाई \( (x + 5) \) और चौड़ाई \( (x + 5) \) है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई। यहाँ लंबाई = चौड़ाई = \( (x + 5) \), अतः यह एक वर्ग है।
क्षेत्रफल = \( (x + 5)^2 \)
सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग करें, जहाँ \( a = x \), \( b = 5 \):
\( (x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \)
अतः, क्षेत्रफल = \( x^2 + 10x + 25 \) वर्ग इकाई।
सर्वसमिका 2: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
प्रश्न 4: एक वर्ग की भुजा की लंबाई \( (2x - 3) \) मीटर है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल: वर्ग का क्षेत्रफल = \( (\text{भुजा})^2 \)
यहाँ भुजा = \( (2x - 3) \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करें, जहाँ \( a = 2x \), \( b = 3 \):
\( (2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 \)
अतः, क्षेत्रफल = \( 4x^2 - 12x + 9 \) वर्ग मीटर।
प्रश्न 5: यदि \( x = 2 \) हो, तो \( (x - 4)^2 \) का मान निकालें।
हल: सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = x \), \( b = 4 \):
\( (x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16 \)
अब \( x = 2 \) डालें:
\( 2^2 - 8 \cdot 2 + 16 = 4 - 16 + 16 = 4 \)
अतः, मान = 4।
प्रश्न 6: एक वर्गाकार बगीचे की भुजा \( (3x - 2) \) मीटर है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल: वर्ग का क्षेत्रफल = \( (\text{भुजा})^2 \)
यहाँ भुजा = \( (3x - 2) \)
सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग करें, जहाँ \( a = 3x \), \( b = 2 \):
\( (3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4 \)
अतः, क्षेत्रफल = \( 9x^2 - 12x + 4 \) वर्ग मीटर।
सर्वसमिका 3: \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
प्रश्न 7: \( (5x + 3)(5x - 3) \) का मान निकालें।
हल: सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = 5x \), \( b = 3 \):
\( (5x + 3)(5x - 3) = (5x)^2 - 3^2 = 25x^2 - 9 \)
अतः, मान = \( 25x^2 - 9 \)。
प्रश्न 8: यदि \( x = 2 \) हो, तो \( (x + 5)(x - 5) \) का मान निकालें।
हल: सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = x \), \( b = 5 \):
\( (x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25 \)
अब \( x = 2 \) डालें:
\( 2^2 - 25 = 4 - 25 = -21 \)
अतः, मान = -21।
प्रश्न 9: एक आयत की लंबाई \( (x + 3) \) मीटर और चौड़ाई \( (x - 3) \) मीटर है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई = \( (x + 3)(x - 3) \)
सर्वसमिका \( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \) का उपयोग करें। यहाँ \( a = x \), \( b = 3 \):
\( (x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9 \)
अतः, क्षेत्रफल = \( x^2 - 9 \) वर्ग मीटर।
6. बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)
1. \( (x + 2)^2 \) का विस्तार क्या है?
2. \( (2x - 3)^2 \) का विस्तार क्या है?
3. \( (3x + 4)(3x - 4) \) का मान क्या है?
4. यदि \( x = 2 \), तो \( (x + 3)^2 \) का मान क्या है?
5. \( (x - 5)^2 \) का विस्तार क्या है?
6. \( (4x + 1)(4x - 1) \) का मान क्या है?
7. सर्वसमिका \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) का उपयोग किसके लिए किया जाता है?
8. यदि \( x = 1 \), तो \( (x - 2)^2 \) का मान क्या है?
9. \( (2x + 5)^2 \) का विस्तार क्या है?
10. \( (x + 7)(x - 7) \) का मान क्या है?
11. एक वर्ग की भुजा \( (x + 6) \) है। इसका क्षेत्रफल क्या है?
12. \( (3x - 2)^2 \) का विस्तार क्या है?
13. \( (5x + 2)(5x - 2) \) का मान क्या है?
14. यदि \( x = 3 \), तो \( (x - 1)^2 \) का मान क्या है?
15. \( (x + 4)^2 \) का विस्तार क्या है?
16. एक आयत की लंबाई \( (x + 2) \) और चौड़ाई \( (x - 2) \) है। इसका क्षेत्रफल क्या है?
17. \( (2x + 3)^2 \) का विस्तार क्या है?
18. यदि \( x = 4 \), तो \( (x + 1)^2 \) का मान क्या है?
19. \( (x - 6)^2 \) का विस्तार क्या है?
20. \( (6x + 5)(6x - 5) \) का मान क्या है?
21. सर्वसमिका \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) का उपयोग किसके लिए किया जाता है?
22. यदि \( x = 5 \), तो \( (x - 3)^2 \) का मान क्या है?
23. \( (x + 8)^2 \) का विस्तार क्या है?
24. एक वर्ग की भुजा \( (2x - 1) \) है। इसका क्षेत्रफल क्या है?