9. व्यंजकों का गुणनखण्ड

परिचय

यह अध्याय व्यंजकों के गुणनखण्ड पर केंद्रित है। गुणनखण्डन वह प्रक्रिया है जिसमें एक व्यंजक को उसके गुणनखण्डों (छोटे व्यंजकों) के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिनका गुणनफल मूल व्यंजक के बराबर होता है। हम विशेष रूप से \( ax + ay \) और \( a x^2 + a y^2 + b x^2 + b y^2 \) प्रकार के व्यंजकों के गुणनखण्डन को समझेंगे।

विस्तृत अवधारणाएँ

1. गुणनखण्डन की अवधारणा

गुणनखण्डन में एक व्यंजक को दो या अधिक छोटे व्यंजकों में तोड़ा जाता है, जो गुणा करने पर मूल व्यंजक देते हैं। यह प्रक्रिया सामान्य गुणनखण्ड निकालकर या विशिष्ट सूत्रों का उपयोग करके की जाती है।

2. \( ax + ay \) प्रकार के व्यंजकों के गुणनखंड

इस प्रकार के व्यंजकों में एक सामान्य गुणनखण्ड होता है। उदाहरण के लिए, \( ax + ay \) में \( a \) सामान्य है। इसे निम्नलिखित तरीके से गुणनखण्डित किया जाता है:

\[ ax + ay = a(x + y) \]

3. \( a x^2 + a y^2 + b x^2 + b y^2 \) प्रकार के व्यंजकों के गुणनखंड

इस प्रकार के व्यंजकों को समूह बनाकर और सामान्य गुणनखण्ड निकालकर गुणनखण्डित किया जाता है। उदाहरण के लिए:

\[ a x^2 + a y^2 + b x^2 + b y^2 = (a x^2 + b x^2) + (a y^2 + b y^2) = x^2(a + b) + y^2(a + b) = (a + b)(x^2 + y^2) \]

4. महत्वपूर्ण सूत्र

गुणनखण्डन के लिए निम्नलिखित सूत्र उपयोगी हैं:

• \( ax + ay = a(x + y) \)
• \( a x^2 + a y^2 + b x^2 + b y^2 = (a + b)(x^2 + y^2) \)
• सामान्य गुणनखण्ड विधि: किसी भी व्यंजक में सामान्य गुणनखण्ड निकालकर गुणनखण्डन करें।

5. अन्य उदाहरण

25 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)