साधारण ब्याज (SI): ब्याज केवल मूलधन पर गणना किया जाता है, और यह समय के साथ नहीं बदलता। सूत्र: \( SI = \frac{P \times R \times T}{100} \).
चक्रवृद्धि ब्याज (CI): ब्याज मूलधन और पिछले समय के ब्याज पर गणना किया जाता है। यह प्रत्येक अवधि में बढ़ता है।
आसान भाषा में: साधारण ब्याज में ब्याज केवल शुरूआती राशि पर मिलता है, जबकि चक्रवृद्धि ब्याज में ब्याज पर भी ब्याज मिलता है।
उदाहरण 1:
1000 रुपये का 10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
साधारण ब्याज: \( SI = \frac{1000 \times 10 \times 2}{100} = 200 \) रुपये
चक्रवृद्धि ब्याज: \( A = 1000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 1000 \times 1.1^2 = 1000 \times 1.21 = 1210 \) रुपये
\( CI = A - P = 1210 - 1000 = 210 \) रुपये
जवाब: SI = 200 रुपये, CI = 210 रुपये
उदाहरण 2:
2000 रुपये का 5% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
साधारण ब्याज: \( SI = \frac{2000 \times 5 \times 2}{100} = 200 \) रुपये
चक्रवृद्धि ब्याज: \( A = 2000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 2000 \times 1.05^2 = 2000 \times 1.1025 = 2205 \) रुपये
\( CI = 2205 - 2000 = 205 \) रुपये
जवाब: SI = 200 रुपये, CI = 205 रुपये
2. वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र
परिभाषा: वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की गणना निम्नलिखित सूत्र से की जाती है:
\[ A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \]
\[ CI = A - P \]
जहाँ \( P \) = मूलधन, \( R \) = ब्याज की दर (प्रतिशत प्रति वर्ष), \( T \) = समय (वर्षों में), \( A \) = राशि, \( CI \) = चक्रवृद्धि ब्याज।
आसान भाषा में: चक्रवृद्धि ब्याज में हर साल ब्याज को मूलधन में जोड़ा जाता है, और अगले साल का ब्याज नई राशि पर गणना किया जाता है।
उदाहरण 1:
5000 रुपये का 10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 5000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 5000 \times 1.1^2 = 5000 \times 1.21 = 6050 \) रुपये
\( CI = 6050 - 5000 = 1050 \) रुपये
जवाब: 1050 रुपये
उदाहरण 2:
3000 रुपये का 5% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 3000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 = 3000 \times 1.05^3 = 3000 \times 1.157625 \approx 3472.88 \) रुपये
\( CI = 3472.88 - 3000 \approx 472.88 \) रुपये
जवाब: लगभग 472.88 रुपये
3. अर्धवार्षिक (Half-Yearly) ब्याज की गणना
परिभाषा: अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज में ब्याज हर 6 महीने में गणना किया जाता है। सूत्र:
\[ A = P \left(1 + \frac{R/2}{100}\right)^{2T} \]
\[ CI = A - P \]
जहाँ \( R/2 \) = अर्धवार्षिक ब्याज दर, \( 2T \) = समय की संख्या (6 महीने की अवधि)।
आसान भाषा में: हर 6 महीने में ब्याज जोड़ा जाता है, और ब्याज की दर आधी हो जाती है, लेकिन अवधि दोगुनी हो जाती है।
उदाहरण 1:
4000 रुपये का 10% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 4000 \left(1 + \frac{10/2}{100}\right)^{2 \times 1} = 4000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 4000 \times 1.05^2 = 4000 \times 1.1025 = 4410 \) रुपये
\( CI = 4410 - 4000 = 410 \) रुपये
जवाब: 410 रुपये
उदाहरण 2:
6000 रुपये का 8% प्रति वर्ष की दर से 1.5 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 6000 \left(1 + \frac{8/2}{100}\right)^{2 \times 1.5} = 6000 \left(1 + \frac{4}{100}\right)^3 = 6000 \times 1.04^3 \approx 6000 \times 1.124864 \approx 6749.18 \) रुपये
\( CI = 6749.18 - 6000 \approx 749.18 \) रुपये
जवाब: लगभग 749.18 रुपये
4. त्रैमासिक (Quarterly) ब्याज की गणना
परिभाषा: त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज में ब्याज हर 3 महीने में गणना किया जाता है। सूत्र:
\[ A = P \left(1 + \frac{R/4}{100}\right)^{4T} \]
\[ CI = A - P \]
जहाँ \( R/4 \) = त्रैमासिक ब्याज दर, \( 4T \) = समय की संख्या (3 महीने की अवधि)।
आसान भाषा में: हर 3 महीने में ब्याज जोड़ा जाता है, ब्याज की दर चौथाई हो जाती है, और अवधि चार गुना हो जाती है।
उदाहरण 1:
5000 रुपये का 12% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के लिए त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 5000 \left(1 + \frac{12/4}{100}\right)^{4 \times 1} = 5000 \left(1 + \frac{3}{100}\right)^4 = 5000 \times 1.03^4 \approx 5000 \times 1.125509 \approx 5627.55 \) रुपये
\( CI = 5627.55 - 5000 \approx 627.55 \) रुपये
जवाब: लगभग 627.55 रुपये
उदाहरण 2:
10000 रुपये का 8% प्रति वर्ष की दर से 6 महीने के लिए त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 10000 \left(1 + \frac{8/4}{100}\right)^{4 \times 0.5} = 10000 \left(1 + \frac{2}{100}\right)^2 = 10000 \times 1.02^2 = 10000 \times 1.0404 = 10404 \) रुपये
\( CI = 10404 - 10000 = 404 \) रुपये
जवाब: 404 रुपये
5. वास्तविक जीवन के उदाहरण
चक्रवृद्धि ब्याज का उपयोग निम्नलिखित क्षेत्रों में होता है:
बैंक FD: सावधि जमा पर चक्रवृद्धि ब्याज।
ऋण: होम लोन या पर्सनल लोन पर ब्याज।
निवेश योजनाएँ: म्यूचुअल फंड या अन्य निवेश पर रिटर्न।
आसान भाषा में: चक्रवृद्धि ब्याज का उपयोग बैंक जमा, लोन, और निवेश में होता है, जहाँ ब्याज पर भी ब्याज मिलता है।
उदाहरण 1:
एक व्यक्ति ने बैंक में 10000 रुपये 6% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए FD में जमा किए। चक्रवृद्धि ब्याज और राशि निकालें।
हल:
\( A = 10000 \left(1 + \frac{6}{100}\right)^2 = 10000 \times 1.06^2 = 10000 \times 1.1236 = 11236 \) रुपये
\( CI = 11236 - 10000 = 1236 \) रुपये
जवाब: चक्रवृद्धि ब्याज = 1236 रुपये, राशि = 11236 रुपये
उदाहरण 2:
एक व्यक्ति ने 5000 रुपये 8% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किए। चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
\( A = 5000 \left(1 + \frac{8/2}{100}\right)^{2 \times 1} = 5000 \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 = 5000 \times 1.04^2 = 5000 \times 1.0816 = 5408 \) रुपये
\( CI = 5408 - 5000 = 408 \) रुपये
जवाब: 408 रुपये
शब्द समस्याएँ
निम्नलिखित शब्द समस्याएँ चक्रवृद्धि ब्याज से संबंधित हैं और परीक्षा में उपयोगी हैं:
4000 रुपये का 5% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
6000 रुपये का 10% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
5000 रुपये का 8% प्रति वर्ष की दर से 6 महीने के लिए त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
10000 रुपये का 6% प्रति वर्ष की दर से 3 वर्ष के लिए राशि निकालें।
3000 रुपये का 4% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
8000 रुपये का 5% प्रति वर्ष की दर से 1.5 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
2000 रुपये का 12% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के लिए त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
7000 रुपये का 6% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए राशि निकालें।
5000 रुपये का 10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
10000 रुपये का 8% प्रति वर्ष की दर से 1 वर्ष के लिए अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज निकालें।
हल:
हल: \( A = 4000 \left(1 + \frac{5}{100}\right)^2 = 4000 \times 1.05^2 = 4000 \times 1.1025 = 4410 \) रुपये
\( CI = 4410 - 4000 = 410 \) रुपये
जवाब: 410 रुपये
हल: \( A = 6000 \left(1 + \frac{10/2}{100}\right)^{2 \times 1} = 6000 \times 1.05^2 = 6000 \times 1.1025 = 6615 \) रुपये
\( CI = 6615 - 6000 = 615 \) रुपये
जवाब: 615 रुपये
हल: \( A = 5000 \left(1 + \frac{8/4}{100}\right)^{4 \times 0.5} = 5000 \times 1.02^2 = 5000 \times 1.0404 = 5202 \) रुपये
\( CI = 5202 - 5000 = 202 \) रुपये
जवाब: 202 रुपये
हल: \( A = 10000 \left(1 + \frac{6}{100}\right)^3 = 10000 \times 1.06^3 \approx 10000 \times 1.191016 \approx 11910.16 \) रुपये
जवाब: लगभग 11910.16 रुपये
हल: \( A = 3000 \left(1 + \frac{4}{100}\right)^2 = 3000 \times 1.04^2 = 3000 \times 1.0816 = 3244.8 \) रुपये
\( CI = 3244.8 - 3000 = 244.8 \) रुपये
जवाब: 244.8 रुपये
हल: \( A = 8000 \left(1 + \frac{5/2}{100}\right)^{2 \times 1.5} = 8000 \times 1.025^3 \approx 8000 \times 1.07689 \approx 8615.12 \) रुपये
\( CI = 8615.12 - 8000 \approx 615.12 \) रुपये
जवाब: लगभग 615.12 रुपये
हल: \( A = 2000 \left(1 + \frac{12/4}{100}\right)^{4 \times 1} = 2000 \times 1.03^4 \approx 2000 \times 1.125509 \approx 2251.02 \) रुपये
\( CI = 2251.02 - 2000 \approx 251.02 \) रुपये
जवाब: लगभग 251.02 रुपये
हल: \( A = 7000 \left(1 + \frac{6}{100}\right)^2 = 7000 \times 1.06^2 = 7000 \times 1.1236 = 7865.2 \) रुपये
जवाब: 7865.2 रुपये
हल: साधारण ब्याज: \( SI = \frac{5000 \times 10 \times 2}{100} = 1000 \) रुपये
चक्रवृद्धि ब्याज: \( A = 5000 \left(1 + \frac{10}{100}\right)^2 = 5000 \times 1.21 = 6050 \) रुपये
\( CI = 6050 - 5000 = 1050 \) रुपये
जवाब: SI = 1000 रुपये, CI = 1050 रुपये
हल: \( A = 10000 \left(1 + \frac{8/2}{100}\right)^{2 \times 1} = 10000 \times 1.04^2 = 10000 \times 1.0816 = 10816 \) रुपये
\( CI = 10816 - 10000 = 816 \) रुपये
जवाब: 816 रुपये
महत्वपूर्ण बिंदु
चक्रवृद्धि ब्याज: ब्याज पर ब्याज की गणना।
वार्षिक CI: \( A = P \left(1 + \frac{R}{100}\right)^T \), \( CI = A - P \)
अर्धवार्षिक CI: \( A = P \left(1 + \frac{R/2}{100}\right)^{2T} \)
त्रैमासिक CI: \( A = P \left(1 + \frac{R/4}{100}\right)^{4T} \)