वृत्त: एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर हों।
गुणधर्म:
- त्रिज्या: केंद्र से परिधि तक की दूरी (\( r \))।
- व्यास: परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा जो केंद्र से होकर गुजरती है (\( 2r \))।
- चाप: वृत्त की परिधि का एक हिस्सा।
- जीवा: परिधि के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा। व्यास सबसे बड़ी जीवा है।
- परिधि: वृत्त का बाहरी घेरा, जिसकी लंबाई \( 2\pi r \) होती है।
आसान भाषा में: वृत्त एक गोल आकृति है जिसमें केंद्र से सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।
उदाहरण 1:
एक वृत्त की त्रिज्या \( 7 \, \text{सेमी} \) है। इसका व्यास और परिधि कितनी होगी? (\( \pi = \frac{22}{7} \))
प्रमेय: वृत्त के केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है, जब दोनों कोण एक ही चाप पर बनते हैं।
गणितीय रूप: यदि चाप \( AB \) पर केंद्र में कोण \( \angle AOB = \theta \), तो परिधि पर कोण \( \angle ACB = \frac{\theta}{2} \)
समान जीवा के गुणधर्म
प्रमेय: वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं और केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
वृत्त में अंतःस्थ कोण
प्रमेय: एक ही चाप पर बना अंतःस्थ कोण (inscribed angle) सभी बिंदुओं पर समान होता है और केंद्र पर बने कोण का आधा होता है।
आसान भाषा में: वृत्त में कोण और जीवाएँ विशेष नियमों का पालन करते हैं, जैसे केंद्र का कोण परिधि के कोण से दोगुना होता है।
उदाहरण 1:
वृत्त में चाप \( AB \) पर केंद्र में कोण \( \angle AOB = 80^\circ \ है। परिधि पर कोण \( \angle ACB \) कितना होगा?
हल:
परिधि पर कोण \( = \frac{\text{केंद्र का कोण}}{2} = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ \)
जवाब: \( 40^\circ \)
उदाहरण 2:
वृत्त में दो जीवाएँ \( PQ \) और \( RS \) समान हैं। यदि केंद्र पर \( \angle POQ = 60^\circ \), तो \( \angle ROS \) कितना होगा?
हल:
समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
इसलिए, \( \angle ROS = 60^\circ \)
जवाब: \( 60^\circ \)
चक्रीय चतुर्भुज
परिभाषा एवं गुणधर्म
परिभाषा: चक्रीय चतुर्भुज वह चतुर्भुज है जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त की परिधि पर होते हैं।
गुणधर्म:
- कोण योग: चक्रीय चतुर्भुज के चारों कोणों का योग \( 360^\circ \) होता है।
- विपरीत कोण: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है। यदि \( \angle A + \angle C = 180^\circ \), तो \( \angle B + \angle D = 180^\circ \)
आसान भाषा में: चक्रीय चतुर्भुज एक विशेष चतुर्भुज है जो वृत्त के अंदर बनता है और इसके कोणों के योग में खास नियम होते हैं।
उदाहरण 1:
चक्रीय चतुर्भुज \( ABCD \) में \( \angle A = 70^\circ \ है। \( \angle C \) कितना होगा?
हल:
चक्रीय चतुर्भुज में विपरीत कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
\( \angle A + \angle C = 180^\circ \)
\( 70^\circ + \angle C = 180^\circ \)
\( \angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)
जवाब: \( 110^\circ \)
उदाहरण 2:
चक्रीय चतुर्भुज में कोण \( \angle B = 100^\circ \ और \angle D = 80^\circ \ हैं। शेष कोणों का योग कितना होगा?
हल:
विपरीत कोणों का योग \( 180^\circ \):
\( \angle B + \angle D = 100^\circ + 80^\circ = 180^\circ \)
कुल कोण योग \( = 360^\circ \)
शेष कोण \( \angle A + \angle C = 360^\circ - (100^\circ + 80^\circ) = 180^\circ \)
जवाब: \( 180^\circ \)
निम्नलिखित प्रगुणों का प्रायोगिक सत्यापन
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है
प्रमेय: यदि वृत्त के केंद्र से किसी जीवा पर लंब डाला जाए, तो वह जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है और लंब जीवा के मध्य बिंदु से होकर गुजरता है।
प्रायोगिक सत्यापन: कागज पर वृत्त बनाएँ, जीवा खींचें, केंद्र से लंब डालें, और मापकर सत्यापित करें कि जीवा दो बराबर भागों में बँटती है।
वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण बनाती हैं
प्रमेय: यदि दो जीवाओं की लंबाई समान है, तो वे केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
प्रायोगिक सत्यापन: दो समान लंबाई की जीवाएँ खींचें और केंद्र पर कोण मापें।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग \( 180^\circ \)
प्रमेय: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है।
प्रायोगिक सत्यापन: कागज पर चक्रीय चतुर्भुज बनाएँ, कोण मापें, और सत्यापित करें कि \( \angle A + \angle C = 180^\circ \ और \angle B + \angle D = 180^\circ \)
आसान भाषा में: इन गुणों को कागज और ज्यामितीय उपकरणों से सत्यापित कर सकते हैं।
उदाहरण 1:
वृत्त में जीवा \( AB = 8 \, \text{सेमी} \) है। केंद्र से लंब डाला गया जो जीवा को बिंदु \( M \) पर मिलता है। \( AM \) और \( MB \) की लंबाई कितनी होगी?
हल:
केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
\( AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4 \, \text{सेमी} \)
जवाब: \( AM = 4 \, \text{सेमी}, MB = 4 \, \text{सेमी} \)
उदाहरण 2:
चक्रीय चतुर्भुज \( PQRS \) में \( \angle P = 85^\circ \ है। \( \angle R \) कितना होगा?
हल:
विपरीत कोणों का योग \( 180^\circ \):
\( \angle P + \angle R = 180^\circ \)
\( 85^\circ + \angle R = 180^\circ \)
\( \angle R = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ \)
जवाब: \( 95^\circ \)
शब्द समस्याएँ
निम्नलिखित शब्द समस्याएँ वृत्त और चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित हैं:
एक वृत्त की त्रिज्या \( 14 \, \text{सेमी} \) है। इसकी परिधि कितनी होगी? (\( \pi = \frac{22}{7} \))
वृत्त में चाप \( PQ \) पर केंद्र में कोण \( \angle POQ = 120^\circ \ है। परिधि पर कोण \( \angle PRQ \) कितना होगा?
चक्रीय चतुर्भुज \( ABCD \) में \( \angle A = 65^\circ \ है। \( \angle C \) कितना होगा?
वृत्त में जीवा \( XY = 10 \, \text{सेमी} \) है। केंद्र से लंब डाला गया। जीवा के प्रत्येक भाग की लंबाई कितनी होगी?
वृत्त की दो जीवाएँ \( AB \) और \( CD \) समान हैं। यदि \( \angle AOB = 70^\circ \), तो \( \angle COD \) कितना होगा?
चक्रीय चतुर्भुज में \( \angle B = 110^\circ \ और \angle D = 70^\circ \ हैं। शेष कोणों का योग कितना होगा?
एक वृत्त का व्यास \( 20 \, \text{सेमी} \) है। इसकी त्रिज्या और परिधि कितनी होगी? (\( \pi = 3.14 \))
वृत्त में अंतःस्थ कोण \( \angle ACB = 50^\circ \ है। केंद्र पर कोण \( \angle AOB \) कितना होगा?
चक्रीय चतुर्भुज \( PQRS \) में \( \angle Q = 80^\circ \ है। \( \angle S \) कितना होगा?
वृत्त में जीवा \( MN = 12 \, \text{सेमी} \) है। केंद्र से लंब डाला गया। प्रत्येक भाग की लंबाई कितनी होगी?