परिभाषा: स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, जिसे स्पर्श बिंदु कहते हैं। यह वृत्त के बाहर या परिधि पर होती है और वृत्त के अंदर नहीं काटती।
विशेषताएँ:
- स्पर्श रेखा वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।
- स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
आसान भाषा में: स्पर्श रेखा वृत्त को सिर्फ़ एक जगह छूती है और उस बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
उदाहरण 1:
वृत्त के केंद्र \( O \) से बिंदु \( P \) पर स्पर्श रेखा \( PT \) खींची गई, जहाँ \( T \) स्पर्श बिंदु है। \( \angle OTP \) कितना होगा?
हल:
स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंबवत होती है।
इसलिए, \( \angle OTP = 90^\circ \)
जवाब: \( 90^\circ \)
उदाहरण 2:
एक वृत्त में बिंदु \( Q \) पर स्पर्श रेखा \( QR \) है। यदि \( OQ \) त्रिज्या है, तो \( \angle OQR \) कितना होगा?
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
इसलिए, \( \angle OQR = 90^\circ \)
जवाब: \( 90^\circ \)
वृत्त की बाहरी एवं भीतरी स्पर्श रेखा
बाहरी स्पर्श रेखा: दो वृत्तों के बीच खींची गई स्पर्श रेखा जो दोनों वृत्तों को बाहर की ओर स्पर्श करती है।
भीतरी स्पर्श रेखा: दो वृत्तों के बीच खींची गई स्पर्श रेखा जो एक वृत्त को बाहर और दूसरे को अंदर की ओर स्पर्श करती है।
विशेषताएँ:
- बाहरी स्पर्श रेखाएँ दो वृत्तों के बीच समान लंबाई की होती हैं।
- भीतरी स्पर्श रेखाएँ दो वृत्तों के बीच से होकर गुजरती हैं।
आसान भाषा में: बाहरी स्पर्श रेखा दो वृत्तों को बाहर से छूती है, जबकि भीतरी एक को बाहर और एक को अंदर छूती है।
उदाहरण 1:
दो वृत्तों के केंद्र \( O_1 \) और \( O_2 \) के बीच की दूरी \( 10 \, \text{सेमी} \) है। दोनों से बाहरी स्पर्श रेखाएँ खींची गईं। यदि स्पर्श रेखाएँ समान हैं, तो उनकी लंबाई समान होगी। इसका क्या अर्थ है?
हल:
बाहरी स्पर्श रेखाएँ हमेशा समान लंबाई की होती हैं।
जवाब: स्पर्श रेखाएँ समान लंबाई की हैं।
उदाहरण 2:
दो वृत्तों के बीच भीतरी स्पर्श रेखा खींची गई। यह स्पर्श रेखा दोनों वृत्तों को कैसे स्पर्श करती है?
हल:
भीतरी स्पर्श रेखा एक वृत्त को बाहर और दूसरे को अंदर की ओर स्पर्श करती है।
जवाब: एक बाहर, एक अंदर।
प्रमेय
वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है
प्रमेय: वृत्त के स्पर्श बिंदु पर खींची गई त्रिज्या स्पर्श रेखा के लंबवत होती है। गणितीय रूप: यदि \( T \) स्पर्श बिंदु है, तो \( \angle OTP = 90^\circ \), जहाँ \( O \) केंद्र और \( P \) रेखा पर बिंदु है।
एक बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं
प्रमेय: किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और केंद्र से बिंदु तक की रेखा दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच का समद्विभाजक होती है।
आसान भाषा में: स्पर्श रेखा त्रिज्या से 90 डिग्री पर होती है, और एक बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं।
उदाहरण 1:
वृत्त के केंद्र \( O \) से स्पर्श बिंदु \( T \) पर त्रिज्या \( OT \) और स्पर्श रेखा \( TP \) है। \( \angle OTP \) कितना होगा?
हल:
त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंबवत होती है।
इसलिए, \( \angle OTP = 90^\circ \)
जवाब: \( 90^\circ \)
उदाहरण 2:
बाहरी बिंदु \( P \) से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ \( PA \) और \( PB \) खींची गईं। यदि \( PA = 5 \, \text{सेमी} \), तो \( PB \) कितना होगा?
हल:
एक बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, \( PB = PA = 5 \, \text{सेमी} \)
जवाब: \( 5 \, \text{सेमी} \)
स्पर्श रेखाओं से संबंधित निर्माण
बाहरी बिंदु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ खींचना
प्रक्रिया:
1. वृत्त का केंद्र \( O \) और बाहरी बिंदु \( P \) लें।
2. \( OP \) को समद्विभाजित करें, मध्य बिंदु \( M \) प्राप्त करें।
3. \( M \) को केंद्र मानकर \( MO \) त्रिज्या का वृत्त बनाएँ, जो मूल वृत्त को \( A \) और \( B \) पर काटे।
4. \( PA \) और \( PB \) स्पर्श रेखाएँ हैं।
वृत्त की स्पर्श रेखा पर आधारित वास्तविक जीवन प्रश्न
स्पर्श रेखाएँ वास्तविक जीवन में उपयोगी हैं, जैसे पहिए के डिज़ाइन में या पुलों की संरचना में।
आसान भाषा में: बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हैं, जो वास्तविक जीवन में डिज़ाइन में मदद करती हैं।
उदाहरण 1:
बिंदु \( P \) से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ \( PA \) और \( PB \) खींची गईं। यदि \( PA = 6 \, \text{सेमी} \), तो \( PB \) कितना होगा?
हल:
स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
इसलिए, \( PB = 6 \, \text{सेमी} \)
जवाब: \( 6 \, \text{सेमी} \)
उदाहरण 2:
एक वास्तविक जीवन प्रश्न: एक पहिए के केंद्र से रिम तक त्रिज्या \( 10 \, \text{सेमी} \) है। रिम पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण कितना होगा?
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
इसलिए, कोण \( = 90^\circ \)
जवाब: \( 90^\circ \)
छेदिका, स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु
छेदिका: वह रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
स्पर्श रेखा: वह रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है।
स्पर्श बिंदु: वह बिंदु जहाँ स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है।
आसान भाषा में: छेदिका वृत्त को दो जगह काटती है, जबकि स्पर्श रेखा केवल एक जगह छूती है।
उदाहरण 1:
रेखा \( AB \) वृत्त को बिंदु \( P \) पर छूती है। यह रेखा क्या कहलाती है?
हल:
यह रेखा केवल एक बिंदु पर वृत्त को छूती है।
जवाब: स्पर्श रेखा
उदाहरण 2:
रेखा \( XY \) वृत्त को दो बिंदुओं \( M \) और \( N \) पर काटती है। यह रेखा क्या कहलाती है?
हल:
यह रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
जवाब: छेदिका
किसी वृत्त पर दिए हुए बिंदु से स्पर्श रेखा की रचना
प्रक्रिया:
1. वृत्त का केंद्र \( O \) और परिधि पर बिंदु \( P \) लें।
2. \( OP \) त्रिज्या खींचें।
3. बिंदु \( P \) पर \( OP \) के लंबवत रेखा खींचें। यह स्पर्श रेखा होगी।
आसान भाषा में: वृत्त पर किसी बिंदु से स्पर्श रेखा खींचने के लिए त्रिज्या के लंबवत रेखा बनाएँ।
उदाहरण 1:
वृत्त पर बिंदु \( P \) से स्पर्श रेखा खींची गई। यदि \( OP \) त्रिज्या है, तो \( \angle \) स्पर्श रेखा और \( OP \) के बीच कितना होगा?
हल:
स्पर्श रेखा त्रिज्या के लंबवत होती है।
जवाब: \( 90^\circ \)
उदाहरण 2:
वृत्त पर बिंदु \( Q \) से स्पर्श रेखा \( QR \) खींची गई। यदि \( OQ \) त्रिज्या है, तो \( \angle OQR \) कितना होगा?
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
प्रयोगात्मक सत्यापन: स्पर्श रेखा और स्पर्श बिंदु से खींची गई त्रिज्या परस्पर लंब होती हैं
प्रमेय: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच का कोण \( 90^\circ \) होता है।
प्रायोगिक सत्यापन:
1. कागज पर वृtt बनाएँ और केंद्र \( O \) चिह्नित करें।
2. परिधि पर बिंदु \( P \) चुनें और त्रिज्या \( OP \) खींचें।
3. \( P \) पर स्पर्श रेखा खींचें और कोण मापें। यह \( 90^\circ \) होगा।
आसान भाषा में: कागज पर वृtt बनाकर त्रिज्या और स्पर्श रेखा के बीच \( 90^\circ \) कोण को सत्यापित करें।
उदाहरण 1:
वृत्त पर बिंदु \( T \) से स्पर्श रेखा \( TP \) और त्रिज्या \( OT \) खींची गई। कोण \( \angle OTP \) कितना होगा?
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
उदाहरण 2:
प्रायोगिक रूप से सत्यापित करें कि बिंदु \( Q \) पर स्पर्श रेखा \( QR \) और त्रिज्या \( OQ \) के बीच का कोण कितना है?
हल:
प्रयोग से पुष्टि होती है कि \( \angle OQR = 90^\circ \)
जवाब: \( 90^\circ \)
शब्द समस्याएँ
निम्नलिखित शब्द समस्याएँ वृत्त की स्पर्श रेखाओं से संबंधित हैं:
वृत्त पर बिंदु \( P \) से स्पर्श रेखा \( PT \) खींची गई। यदि \( OT \) त्रिज्या है, तो \( \angle OTP \) कितना होगा?
बाहरी बिंदु \( P \) से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ \( PA \) और \( PB \) खींची गईं। यदि \( PA = 8 \, \text{सेमी} \), तो \( PB \) कितना होगा?
दो वृत्तों के बीच बाहरी स्पर्श रेखा खींची गई। यह दोनों वृत्तों को कैसे स्पर्श करती है?
वृत्त पर बिंदु \( Q \) से स्पर्श रेखा \( QR \) और त्रिज्या \( OQ \) के बीच का कोण कितना होगा?
रेखा \( AB \) वृत्त को दो बिंदुओं \( M \) और \( N \) पर काटती है। यह रेखा क्या कहलाती है?
बाहरी बिंदु \( P \) से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ \( PA \) और \( PB \) खींची गईं। यदि \( PA = 10 \, \text{सेमी} \), तो \( PB \) कितना होगा?
वृत्त पर बिंदु \( T \) से स्पर्श रेखा \( TP \) खींची गई। यदि \( OT \) त्रिज्या है, तो \( \angle OTP \) कितना होगा?
दो वृत्तों के बीच भीतरी स्पर्श रेखा खींची गई। यह दोनों वृत्तों को कैसे स्पर्श करती है?
वास्तविक जीवन में, एक पहिए की रिम पर स्पर्श रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण कितना होगा?
वृत्त पर बिंदु \( Q \) से स्पर्श रेखा \( QR \) की रचना की गई। \( OQ \) के साथ इसका कोण कितना होगा?
हल:
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
हल:
स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
जवाब: \( PB = 8 \, \text{सेमी} \)
हल:
बाहरी स्पर्श रेखा दोनों वृत्तों को बाहर की ओर स्पर्श करती है।
जवाब: दोनों बाहर।
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
हल:
यह रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
जवाब: छेदिका
हल:
स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
जवाब: \( PB = 10 \, \text{सेमी} \)
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
हल:
भीतरी स्पर्श रेखा एक वृत्त को बाहर और एक को अंदर स्पर्श करती है।
जवाब: एक बाहर, एक अंदर।
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
हल:
त्रिज्या और स्पर्श रेखा लंबवत होती हैं।
जवाब: \( 90^\circ \)
महत्वपूर्ण बिंदु
स्पर्श रेखा: वृत्त को एक बिंदु पर छूती है।
छेदिका: वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
त्रिज्या और स्पर्श रेखा: स्पर्श बिंदु पर \( 90^\circ \)
बाहरी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ: बराबर लंबाई की।
बाहरी स्पर्श रेखा: दोनों वृत्तों को बाहर छूती है।
भीतरी स्पर्श रेखा: एक को बाहर, एक को अंदर छूती है।
रचना: बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ, परिधि पर बिंदु से लंबवत रेखा।