परिभाषा: प्रायिकता किसी घटना के होने की संभावना को मापती है। इसे निम्न सूत्र से व्यक्त किया जाता है:
\[ \text{प्रायिकता} = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}} \]
आसान भाषा में: प्रायिकता बताती है कि कोई चीज होने की कितनी संभावना है, जैसे बारिश होना या सिक्के पर चित्त आना।
उदाहरण 1:
एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकालने की प्रायिकता क्या है कि वह लाल हो?
परिभाषा:
- निश्चित घटना: वह घटना जो निश्चित रूप से होगी, जैसे सूर्य का उदय होना। प्रायिकता = 1
- अनिश्चित घटना: वह घटना जिसके होने या न होने की संभावना हो, जैसे बारिश होना। प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है।
- असंभव घटना: वह घटना जो कभी नहीं हो सकती, जैसे दिन में तारे दिखना। प्रायिकता = 0
आसान भाषा में: कुछ चीजें हमेशा होती हैं (निश्चित), कुछ हो भी सकती हैं और नहीं भी (अनिश्चित), और कुछ कभी नहीं होतीं (असंभव)।
उदाहरण 1:
सूर्य के उदय होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
यह एक निश्चित घटना है।
प्रायिकता = \( 1 \)
जवाब: \( 1 \)
उदाहरण 2:
एक पासे को फेंकने पर 7 आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
पासे पर केवल 1 से 6 तक की संख्याएँ होती हैं, इसलिए 7 आना असंभव है।
प्रायिकता = \( 0 \)
जवाब: \( 0 \)
3. सिक्का उछालना
परिभाषा: सिक्का उछालने पर दो संभावित परिणाम होते हैं: चित्त (H) या पट (T)। प्रत्येक की प्रायिकता \( \frac{1}{2} \) होती है।
आसान भाषा में: सिक्का उछालने पर चित्त या पट आने की बराबर संभावना होती है।
उदाहरण 1:
एक सिक्का उछालने पर चित्त आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
कुल परिणाम = 2 (चित्त, पट)
अनुकूल परिणाम = 1 (चित्त)
प्रायिकता = \( \frac{1}{2} \)
जवाब: \( \frac{1}{2} \)
उदाहरण 2:
दो सिक्के उछालने पर दोनों पर चित्त आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
कुल परिणाम = \( 2 \times 2 = 4 \) (HH, HT, TH, TT)
अनुकूल परिणाम = 1 (HH)
प्रायिकता = \( \frac{1}{4} \)
जवाब: \( \frac{1}{4} \)
4. पासा फेंकना
परिभाषा: एक पासे को फेंकने पर 6 संभावित परिणाम होते हैं (1, 2, 3, 4, 5, 6)। प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \( \frac{1}{6} \) होती है।
आसान भाषा में: पासा फेंकने पर कोई भी संख्या (1 से 6) आने की बराबर संभावना होती है।
उदाहरण 1:
एक पासा फेंकने पर सम संख्या (2, 4, 6) आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
कुल परिणाम = 6
अनुकूल परिणाम = 3 (2, 4, 6)
प्रायिकता = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
जवाब: \( \frac{1}{2} \)
उदाहरण 2:
एक पासा फेंकने पर 5 से अधिक संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
हल:
कुल परिणाम = 6
अनुकूल परिणाम = 1 (6)
प्रायिकता = \( \frac{1}{6} \)
जवाब: \( \frac{1}{6} \)
5. ताश के पत्ते निकालना
परिभाषा: एक ताश के पैक में 52 पत्ते होते हैं (4 सूट: हुकुम, चिड़ी, ईंट, पान; प्रत्येक में 13 पत्ते)। किसी पत्ते को निकालने की प्रायिकता कुल और अनुकूल परिणामों पर निर्भर करती है।
आसान भाषा में: ताश के पत्तों में कुछ खास पत्ते (जैसे इक्का, बादशाह) निकालने की संभावना गिनी जाती है।
उदाहरण 1:
52 पत्तों के पैक से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकालने की प्रायिकता क्या है कि वह इक्का हो?