17. कार्तीय तल (निर्देशांक ज्यामिति)

उदाहरण 1:

बिंदु \( (3, 4) \) किस चतुर्थांश में स्थित है?

हल:
यहाँ \( x = 3 \) (धनात्मक) और \( y = 4 \) (धनात्मक) है।
इसलिए, बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है।
जवाब: प्रथम चतुर्थांश

उदाहरण 2:

मूल बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?

हल:
मूल बिंदु वह है जहाँ \( x \)-अक्ष और \( y \)-अक्ष मिलते हैं।
जवाब: \( (0, 0) \)

उदाहरण 1:

बिंदु \( (-2, 5) \) किस चतुर्थांश में है?

हल:
यहाँ \( x = -2 \) (ऋणात्मक) और \( y = 5 \) (धनात्मक) है।
इसलिए, बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में है।
जवाब: द्वितीय चतुर्थांश

उदाहरण 2:

बिंदु \( (4, -3) \) किस चतुर्थांश में है?

हल:
यहाँ \( x = 4 \) (धनात्मक) और \( y = -3 \) (ऋणात्मक) है।
इसलिए, बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में है।
जवाब: चतुर्थ चतुर्थांश

उदाहरण 1:

बिंदु \( (1, 2) \) और \( (4, 6) \) के बीच की दूरी निकालें।

हल:
दूरी सूत्र: \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (1, 2), (x_2, y_2) = (4, 6) \)
दूरी \( = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
जवाब: \( 5 \) इकाई

उदाहरण 2:

बिंदु \( (-2, 3) \) और \( (1, -1) \) के बीच की दूरी निकालें।

हल:
दूरी सूत्र: \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (-2, 3), (x_2, y_2) = (1, -1) \)
दूरी \( = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{3^2 + 16} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
जवाब: \( 5 \) इकाई

उदाहरण 1:

बिंदु \( (2, 4) \) और \( (6, 8) \) के मध्यबिंदु के निर्देशांक निकालें।

हल:
मध्यबिंदु सूत्र: \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (2, 4), (x_2, y_2) = (6, 8) \)
मध्यबिंदु \( = \left( \frac{2 + 6}{2}, \frac{4 + 8}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{12}{2} \right) = (4, 6) \)
जवाब: \( (4, 6) \)

उदाहरण 2:

बिंदु \( (-1, 3) \) और \( (5, -7) \) के मध्यबिंदु के निर्देशांक निकालें।

हल:
मध्यबिंदु सूत्र: \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (-1, 3), (x_2, y_2) = (5, -7) \)
मध्यबिंदु \( = \left( \frac{-1 + 5}{2}, \frac{3 + (-7)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}, \frac{-4}{2} \right) = (2, -2) \)
जवाब: \( (2, -2) \)

उदाहरण 1:

बिंदु \( (1, 2) \) और \( (5, 8) \) को अनुपात \( 1:3 \) में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक निकालें।

हल:
अनुपात \( m:n = 1:3 \), \( (x_1, y_1) = (1, 2), (x_2, y_2) = (5, 8) \)
सूत्र: \( \left( \frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n} \right) \)
निर्देशांक \( = \left( \frac{1 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{1 + 3}, \frac{1 \cdot 8 + 3 \cdot 2}{1 + 3} \right) = \left( \frac{5 + 3}{4}, \frac{8 + 6}{4} \right) = \left( \frac{8}{4}, \frac{14}{4} \right) = (2, 3.5) \)
जवाब: \( (2, 3.5) \)

उदाहरण 2:

बिंदु \( (2, -1) \) और \( (4, 5) \) को अनुपात \( 2:1 \) में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक निकालें।

हल:
अनुपात \( m:n = 2:1 \), \( (x_1, y_1) = (2, -1), (x_2, y_2) = (4, 5) \)
निर्देशांक \( = \left( \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot 2}{2 + 1}, \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot (-1)}{2 + 1} \right) = \left( \frac{8 + 2}{3}, \frac{10 - 1}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, \frac{9}{3} \right) = \left( \frac{10}{3}, 3 \right) \)
जवाब: \( \left( \frac{10}{3}, 3 \right) \)

उदाहरण 1:

एक नक्शे में दो शहर \( A(2, 3) \) और \( B(5, 7) \) हैं। इनके बीच की दूरी निकालें।

हल:
दूरी सूत्र: \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (2, 3), (x_2, y_2) = (5, 7) \)
दूरी \( = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
जवाब: \( 5 \) किमी (मान लिया गया इकाई)

उदाहरण 2:

GPS में एक जहाज \( (-4, 2) \) पर है और दूसरा \( (2, -2) \) पर। उनके बीच का मध्यबिंदु निकालें।

हल:
मध्यबिंदु सूत्र: \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (-4, 2), (x_2, y_2) = (2, -2) \)
मध्यबिंदु \( = \left( \frac{-4 + 2}{2}, \frac{2 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{0}{2} \right) = (-1, 0) \)
जवाब: \( (-1, 0) \)

उदाहरण 1:

बिंदु \( (2, 3), (4, 5) \) को कार्तीय तल पर चिह्नित करें और उनके बीच रेखा खींचें। यह किस चतुर्थांश में है?

हल:
दोनों बिंदु \( (2, 3), (4, 5) \) में \( x \) और \( y \) धनात्मक हैं।
इसलिए, रेखा प्रथम चतुर्थांश में होगी।
जवाब: प्रथम चतुर्थांश

उदाहरण 2:

ग्राफ पर बिंदु \( (-3, 2) \) और \( (1, -4) \) को चिह्नित करें। इनके बीच की दूरी निकालें।

हल:
दूरी सूत्र: \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
यहाँ \( (x_1, y_1) = (-3, 2), (x_2, y_2) = (1, -4) \)
दूरी \( = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
जवाब: \( 2\sqrt{13} \) इकाई

हल:

1. हल:
   \( x = 5, y = 7 \) (दोनों धनात्मक)।
   जवाब: प्रथम चतुर्थांश
2. हल:
   दूरी \( = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{(4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)
   जवाब: \( 2\sqrt{13} \) इकाई
3. हल:
   मध्यबिंदु \( = \left( \frac{2 + 8}{2}, \frac{1 + 9}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{10}{2} \right) = (5, 5) \)
   जवाब: \( (5, 5) \)
4. हल:
   अनुपात \( 2:3 \), निर्देशांक \( = \left( \frac{2 \cdot 7 + 3 \cdot 1}{2 + 3}, \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 3}{2 + 3} \right) = \left( \frac{14 + 3}{5}, \frac{10 + 9}{5} \right) = \left( \frac{17}{5}, \frac{19}{5} \right) \)
   जवाब: \( \left( \frac{17}{5}, \frac{19}{5} \right) \)
5. हल:
   दूरी \( = \sqrt{(8 - 4)^2 + (2 - 6)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
   जवाब: \( 4\sqrt{2} \) किमी
6. हल:
   मध्यबिंदु \( = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{5 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2} \right) = (1, 1) \)
   जवाब: \( (1, 1) \)
7. हल:
   \( x = 0, y = 4 \), यह \( y \)-अक्ष पर है।
   जवाब: कोई चतुर्थांश नहीं (\( y \)-अक्ष पर)
8. हल:
   अनुपात \( 1:1 \), निर्देशांक \( = \left( \frac{1 \cdot (-1) + 1 \cdot 3}{1 + 1}, \frac{1 \cdot 4 + 1 \cdot (-2)}{1 + 1} \right) = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{4 - 2}{2} \right) = (1, 1) \)
   जवाब: \( (1, 1) \)
9. हल:
   दूरी \( = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \)
   जवाब: \( 4\sqrt{5} \) इकाई
10. हल:
    दूरी \( = \sqrt{(6 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
    जवाब: \( 4\sqrt{2} \) इकाई