1. वर्ग, आयत, त्रिभुज, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
परिभाषा: क्षेत्रफल वह क्षेत्र है जो किसी आकृति के अंदर होता है।
- वर्ग: क्षेत्रफल = \( (\text{भुजा})^2 \)
- आयत: \( \text{क्षेत्रफल} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \)
- त्रिभुज: \( \text{क्षेत्रफल} = \tfrac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
- समांतर चतुर्भुज: \( \text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \)
आसान भाषा में: ये आकृतियाँ समतल होती हैं, और इनका क्षेत्रफल उनकी लंबाई, चौड़ाई, या
ऊँचाई से निकाला जाता है।
उदाहरण 1:
एक आयत की लंबाई 10 सेमी और चौड़ाई 5 सेमी है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल:
क्षेत्रफल = \( 10 \times 5 = 50 \) वर्ग सेमी
जवाब: 50 वर्ग सेमी
उदाहरण 2:
एक त्रिभुज का आधार 8 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। इसका क्षेत्रफल निकालें।
हल:
क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \) वर्ग सेमी
जवाब: 24 वर्ग सेमी
2. वृत्त का क्षेत्रफल
परिभाषा: वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या के आधार पर निकाला जाता है।
\[ \text{क्षेत्रफल} = \pi r^2, \text{जहाँ } r = \text{त्रिज्या}, \pi \approx \frac{22}{7} \text{ या
} 3.14 \]
आसान भाषा में: वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या को वर्ग करके \( \pi \) से गुणा करने
से मिलता है।
उदाहरण 1:
एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। इसका क्षेत्रफल निकालें। (\( \pi = \frac{22}{7} \))
हल:
क्षेत्रफल = \( \frac{22}{7} \times 7^2 = \frac{22}{7} \times 49 = 154 \) वर्ग सेमी
जवाब: 154 वर्ग सेमी
उदाहरण 2:
एक वृत्त की त्रिज्या 14 सेमी है। इसका क्षेत्रफल निकालें। (\( \pi = \frac{22}{7} \))
हल:
क्षेत्रफल = \( \frac{22}{7} \times 14^2 = \frac{22}{7} \times 196 = 616 \) वर्ग सेमी
जवाब: 616 वर्ग सेमी
3. पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
परिभाषा: पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी ठोस आकृति की बाहरी सतह का कुल क्षेत्रफल है।
- घन: \( \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 6a^2 \), \( a = \text{भुजा} \)
- घनाभ: \( \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2(lb + bh + hl) \), \( l = \text{लंबाई}, b = \text{चौड़ाई}, h
= \text{ऊँचाई} \)
- बेलन: \( \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 2\pi r (r + h) \), \( r = \text{त्रिज्या}, h = \text{ऊँचाई}
\)
- शंकु: \( \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = \pi r (r + l) \), \( l = \text{तिर्यक ऊँचाई} \)
- गोला: \( \text{पृष्ठीय क्षेत्रफल} = 4\pi r^2 \)
आसान भाषा में: ठोस आकृतियों की बाहरी सतह का क्षेत्रफल, जैसे डिब्बे, गेंद, या टंकी की
सतह।
उदाहरण 1:
एक घन की भुजा 4 सेमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।
हल:
पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \) वर्ग सेमी
जवाब: 96 वर्ग सेमी
उदाहरण 2:
एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें। (\( \pi =
\frac{22}{7} \))
हल:
पृष्ठीय क्षेत्रफल = \( 2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times (7 + 10) = 2 \times 22 \times 17 =
748 \) वर्ग सेमी
जवाब: 748 वर्ग सेमी
4. आयतन (Volume)
परिभाषा: आयतन किसी ठोस आकृति के अंदर की जगह को दर्शाता है।
- घन: \( \text{आयतन} = a^3 \)
- घनाभ: \( \text{आयतन} = l \times b \times h \)
- बेलन: \( \text{आयतन} = \pi r^2 h \)
- शंकु: \( \text{आयतन} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
- गोला: \( \text{आयतन} = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
आसान भाषा में: आयतन बताता है कि कोई ठोस आकृति कितना पानी, रेत, या सामान रख सकती है।
उदाहरण 1:
एक घनाभ की लंबाई 6 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी, और ऊँचाई 3 सेमी है। इसका आयतन निकालें।
परिभाषा: मिश्रित ठोस दो या अधिक ठोस आकृतियों का संयोजन होते हैं। आयतन निकालने के लिए
प्रत्येक भाग का आयतन जोड़ा या घटाया जाता है।
आसान भाषा में: जब दो आकृतियाँ (जैसे बेलन और शंकु) जुड़ी हों, तो उनके आयतन को जोड़कर
या घटाकर कुल आयतन निकाला जाता है।
उदाहरण 1:
एक मिश्रित ठोस में एक बेलन (त्रिज्या 3 सेमी, ऊँचाई 10 सेमी) और उस पर एक शंकु (त्रिज्या 3 सेमी,
ऊँचाई 4 सेमी) है। कुल आयतन निकालें। (\( \pi = \frac{22}{7} \))