नोट्स
घन एवं घनमूल की संकल्पना
परिभाषा: किसी संख्या का घन उस संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा करने पर प्राप्त होती है। जैसे, \( 2^3 = 8 \), अतः 8, 2 का घन है।
घनमूल: किसी संख्या का घनमूल वह संख्या है जिसका घन मूल संख्या के बराबर हो। जैसे, \( \sqrt[3]{8} = 2 \), क्योंकि \( 2^3 = 8 \)।
पूर्ण घन संख्या की पहचान: एक संख्या पूर्ण घन है यदि इसके अभाज्य गुणनखण्डों की घातें 3 से विभाज्य हों।
घन और घनमूल में सम्बन्ध: यदि \( a^3 = b \), तो \( \sqrt[3]{b} = a \)।
आसान भाषा में: घन किसी संख्या को तीन बार गुणा करने से बनता है, और घनमूल उस संख्या को ढूंढता है।
उदाहरण 1: पूर्ण घन संख्या की पहचान
क्या 216 पूर्ण घन संख्या है?
हल:
216 का अभाज्य गुणनखण्ड:
\( 216 = 2^3 \times 3^3 \)
सभी घातें (3, 3) 3 से विभाज्य हैं।
\( \sqrt[3]{216} = 2 \times 3 = 6 \), क्योंकि \( 6^3 = 216 \)।
जवाब: हाँ, 216 पूर्ण घन है।
उदाहरण 2: घन और घनमूल
27 का घनमूल निकालें।
हल:
\( 27 = 3^3 \)
\( \sqrt[3]{27} = 3 \), क्योंकि \( 3^3 = 27 \)।
जवाब: 3
घनमूल ज्ञात करने की विधियाँ
परिभाषा: घनमूल निकालने की विधियाँ संख्याओं को सरल बनाने और गणनाओं में उपयोगी हैं।
गुणनखंड विधि: संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड करें और घातों को 3 से विभाजित करें।
ऋण पूर्णांकों का घनमूल: \( \sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a} \)। जैसे, \( \sqrt[3]{-8} = -2 \)।
गुणनफल का घनमूल: \( \sqrt[3]{a \times b} = \sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{b} \)।
दशमलव संख्या का घनमूल: दशमलव को पूर्ण संख्या में बदलें, घनमूल निकालें, फिर दशमलव बिंदु समायोजित करें।
आसान भाषा में: गुणनखंड से आसानी से घनमूल निकालें, और ऋण या दशमलव संख्याओं के लिए नियमों का पालन करें।
उदाहरण 1: गुणनखंड विधि
512 का घनमूल निकालें।
हल:
\( 512 = 2^9 = 2^3 \times 2^3 \times 2^3 \)
\( \sqrt[3]{512} = 2^3 = 8 \), क्योंकि \( 8^3 = 512 \)।
जवाब: 8
उदाहरण 2: दशमलव संख्या
0.027 का घनमूल निकालें।
हल:
\( 0.027 = \frac{27}{1000} = \frac{3^3}{10^3} \)
\( \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{3}{10} = 0.3 \)
जवाब: 0.3
विशेष बिंदु
परिमेय संख्या का घनमूल: यदि अंश और हर पूर्ण घन हों, तो \( \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \)।
करणी: करणी एक ऐसी संख्या है जिसे परिमेय रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जैसे \( \sqrt[3]{2} \)।
करणीगत राशि: करणी युक्त व्यंजक, जैसे \( \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3} \)।
करणी चिह्न: \( \sqrt[3]{} \) घनमूल को दर्शाता है।
करणी का घातांक: \( \sqrt[3]{a} = a^{1/3} \)।
आसान भाषा में: परिमेय संख्याओं का घनमूल आसान होता है, और करणी जटिल संख्याओं को दर्शाती है।
उदाहरण 1: परिमेय संख्या का घनमूल
\( \sqrt[3]{\frac{8}{27}} \) निकालें।
हल:
\( \frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} \)
\( \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{2}{3} \)
जवाब: \( \frac{2}{3} \)
उदाहरण 2: करणी का घातांक
\( \sqrt[3]{64} \) को घातांक रूप में लिखें।
हल:
\( \sqrt[3]{64} = 64^{1/3} \)
\( 64 = 4^3 \), अतः \( 64^{1/3} = 4 \)
जवाब: \( 4 \)
अनुप्रयोग
परिभाषा: घनमूल का उपयोग आयतन, लागत, और अन्य व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में होता है।
आसान भाषा में: घनमूल से घनाकार वस्तुओं की भुजा या अन्य गणनाएँ की जा सकती हैं।
उदाहरण 1: आयतन से भुजा
एक घन का आयतन 125 घन सेमी है। इसकी भुजा निकालें।
हल:
आयतन = \( a^3 = 125 \)
\( \sqrt[3]{125} = 5 \), क्योंकि \( 5^3 = 125 \)।
जवाब: 5 सेमी
उदाहरण 2: लागत गणना
एक घनाकार टैंक का आयतन 343 घन मीटर है। यदि प्रति घन मीटर की लागत 10 रुपये है, तो कुल लागत निकालें।
हल:
कुल लागत = आयतन × प्रति घन मीटर लागत
\( = 343 \times 10 = 3430 \) रुपये
जवाब: 3430 रुपये
शब्द समस्याएँ
निम्नलिखित शब्द समस्याएँ घन और घनमूल पर आधारित हैं:
- एक घन का आयतन 64 घन सेमी है। इसकी भुजा निकालें।
- क्या 729 पूर्ण घन संख्या है? यदि हाँ, तो इसका घनमूल निकालें।
- \( \sqrt[3]{-125} \) का मान निकालें।
- एक घनाकार बॉक्स का आयतन 1000 घन सेमी है। इसकी भुजा निकालें।
- \( \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \) का मान निकालें।
- एक घनाकार टैंक में 512 घन लीटर पानी है। इसकी भुजा निकालें।
- 0.008 का घनमूल निकालें।
- \( \sqrt[3]{8 \times 27} \) का मान निकालें।
- एक घन का आयतन 216 घन मीटर है। यदि प्रति घन मीटर की लागत 20 रुपये है, तो कुल लागत निकालें।
- क्या 100 पूर्ण घन संख्या है? सत्यापित करें।
हल:
- हल:
आयतन = \( a^3 = 64 \)
\( \sqrt[3]{64} = 4 \), क्योंकि \( 4^3 = 64 \)।
जवाब: 4 सेमी
- हल:
\( 729 = 3^6 = 3^3 \times 3^3 \)
घातें 3 से विभाज्य हैं।
\( \sqrt[3]{729} = 9 \), क्योंकि \( 9^3 = 729 \)।
जवाब: हाँ, घनमूल 9
- हल:
\( \sqrt[3]{-125} = -\sqrt[3]{125} = -5 \), क्योंकि \( 5^3 = 125 \)।
जवाब: -5
- हल:
आयतन = \( a^3 = 1000 \)
\( \sqrt[3]{1000} = 10 \), क्योंकि \( 10^3 = 1000 \)।
जवाब: 10 सेमी
- हल:
\( \frac{1}{8} = \frac{1^3}{2^3} \)
\( \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} = 0.5 \)
जवाब: 0.5
- हल:
आयतन = \( a^3 = 512 \)
\( \sqrt[3]{512} = 8 \), क्योंकि \( 8^3 = 512 \)।
जवाब: 8 मीटर
- हल:
\( 0.008 = \frac{8}{1000} = \frac{2^3}{10^3} \)
\( \sqrt[3]{\frac{8}{1000}} = \frac{2}{10} = 0.2 \)
जवाब: 0.2
- हल:
\( \sqrt[3]{8 \times 27} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{27} = 2 \times 3 = 6 \)
जवाब: 6
- हल:
कुल लागत = \( 216 \times 20 = 4320 \) रुपये
जवाब: 4320 रुपये
- हल:
\( 100 = 2^2 \times 5^2 \)
घातें (2, 2) 3 से विभाज्य नहीं हैं।
जवाब: नहीं, 100 पूर्ण घन नहीं है।
महत्वपूर्ण बिंदु
- घन: \( a^3 \), घनमूल: \( \sqrt[3]{a} \)।
- पूर्ण घन: अभाज्य गुणनखण्डों की घातें 3 से विभाज्य।
- ऋण संख्या: \( \sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a} \)।
- परिमेय: \( \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} \)।
- करणी: \( \sqrt[3]{a} \) यदि \( a \) पूर्ण घन नहीं है।