4. सर्वसमिकाएँ

उदाहरण 1: \( (a + b)^3 \)

\( (x + 2)^3 \) का विस्तार करें।

हल:
\( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)
यहाँ \( a = x, b = 2 \)
\( (x + 2)^3 = x^3 + 2^3 + 3 \cdot x \cdot 2 \cdot (x + 2) \)
\( = x^3 + 8 + 6x(x + 2) = x^3 + 8 + 6x^2 + 12x \)
\( = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)
जवाब: \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

उदाहरण 2: \( (a + b + c)^2 \)

\( (x + y + 1)^2 \) का विस्तार करें।

हल:
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
यहाँ \( a = x, b = y, c = 1 \)
\( (x + y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 1^2 + 2xy + 2y \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot x \)
\( = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2y + 2x \)
जवाब: \( x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1 \)

उदाहरण 1: \( (a + b)^2 \)

\( (x + 3)^2 \) को क्षेत्रफल द्वारा सत्यापित करें।

हल:
एक वर्ग की भुजा \( x + 3 \):
क्षेत्रफल = \( (x + 3)^2 \)
इसे चार भागों में बाँटें: \( x^2 \), \( 3^2 \), \( x \cdot 3 \), \( x \cdot 3 \)
कुल क्षेत्रफल = \( x^2 + 9 + 2 \cdot x \cdot 3 = x^2 + 6x + 9 \)
सर्वसमिका: \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
जवाब: सत्यापित

उदाहरण 2: \( (a + b)^3 \)

\( (x + 2)^3 \) को घन के आयतन द्वारा सत्यापित करें।

हल:
एक घन की भुजा \( x + 2 \):
आयतन = \( (x + 2)^3 \)
इसे आठ भागों में बाँटें: \( x^3 \), \( 2^3 \), \( 3 \cdot x^2 \cdot 2 \), \( 3 \cdot x \cdot 2^2 \)
कुल आयतन = \( x^3 + 8 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 4 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)
सर्वसमिका: \( (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)
जवाब: सत्यापित

उदाहरण 1: संख्यात्मक मान

\( (4 + 3)^2 \) का मान निकालें।

हल:
\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)
यहाँ \( a = 4, b = 3 \)
\( (4 + 3)^2 = 4^2 + 3^2 + 2 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 9 + 24 = 49 \)
जवाब: 49

उदाहरण 2: वास्तविक जीवन

एक वर्गाकार बगीचे की भुजा \( x + 5 \) मीटर है। इसका क्षेत्रफल निकालें।

हल:
क्षेत्रफल = \( (x + 5)^2 \)
\( (x + 5)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25 \)
जवाब: \( x^2 + 10x + 25 \) वर्ग मीटर

हल:

1. हल:
   क्षेत्रफल = \( (x + 4)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16 \)
   जवाब: \( x^2 + 8x + 16 \) वर्ग मीटर
2. हल:
   \( (5 + 2)^3 = 7^3 = 343 \)
   या, \( (5 + 2)^3 = 5^3 + 2^3 + 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot (5 + 2) = 125 + 8 + 30 \cdot 7 = 125 + 8 + 210 = 343 \)
   जवाब: 343
3. हल:
   \( (a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b) \)
   \( (x - 3)^3 = x^3 - 3^3 - 3 \cdot x \cdot 3 \cdot (x - 3) \)
   \( = x^3 - 27 - 9x(x - 3) = x^3 - 27 - 9x^2 + 27x \)
   \( = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \)
   जवाब: \( x^3 - 9x^2 + 27x - 27 \)
4. हल:
   क्षेत्रफल = \( (x + 2)(x + 3) \)
   \( = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6 \)
   जवाब: \( x^2 + 5x + 6 \) वर्ग मीटर
5. हल:
   \( (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \)
   या, \( (2 + 3)^2 = 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 = 4 + 9 + 12 = 25 \)
   जवाब: 25
6. हल:
   आयतन = \( (x + 1)^3 = x^3 + 1^3 + 3 \cdot x \cdot 1 \cdot (x + 1) \)
   \( = x^3 + 1 + 3x(x + 1) = x^3 + 1 + 3x^2 + 3x \)
   \( = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \)
   जवाब: \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) घन सेमी
7. हल:
   \( (x + y + 2)^2 = x^2 + y^2 + 2^2 + 2xy + 2y \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot x \)
   \( = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4y + 4x \)
   जवाब: \( x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4 \)
8. हल:
   क्षेत्रफल = \( (x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36 \)
   जवाब: \( x^2 + 12x + 36 \) वर्ग मीटर
9. हल:
   \( (6 - 2)^3 = 4^3 = 64 \)
   या, \( (6 - 2)^3 = 6^3 - 2^3 - 3 \cdot 6 \cdot 2 \cdot (6 - 2) \)
   \( = 216 - 8 - 36 \cdot 4 = 216 - 8 - 144 = 64 \)
   जवाब: 64
10. हल:
    \( (x + y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 1^2 + 2xy + 2y \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot x \)
    \( = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2y + 2x \)
    जवाब: \( x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1 \)