7. युगपत समीकरण

नोट्स

दो चर वाले रेखीय समीकरण (Linear Equations in Two Variables)

परिभाषा: दो चर वाले रेखीय समीकरण वह समीकरण है जिसमें दो चर (जैसे \( x \) और \( y \)) होते हैं और प्रत्येक चर की घात 1 होती है। इसका सामान्य रूप है: \( ax + by + c = 0 \), जहाँ \( a, b, c \) स्थिरांक हैं और \( a, b \) दोनों शून्य नहीं हैं।

ग्राफीय निरूपण:
- यह समीकरण ग्राफ पर एक सरल रेखा दर्शाता है।
- प्रत्येक बिंदु \((x, y)\) जो समीकरण को संतुष्ट करता है, रेखा पर होता है।

हल की परिभाषा: हल वह \((x, y)\) जोड़ा है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है। युगपत समीकरणों का हल वह बिंदु है जहाँ दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

आसान भाषा में: दो चर वाले समीकरण दो अज्ञात मानों को हल करने में मदद करते हैं, और उनका ग्राफ एक सीधी रेखा बनाता है।

युगपत समीकरणों का हल (Methods of Solving Simultaneous Equations)

प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method):
1. एक समीकरण से एक चर को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करें।
2. इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
3. परिणामी समीकरण को हल करें।
4. प्राप्त मान को वापस पहले समीकरण में रखकर दूसरा चर निकालें।

उन्मूलन विधि (Elimination Method):
1. दोनों समीकरणों में एक चर के गुणांक समान करें।
2. समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ ताकि एक चर हट जाए।
3. शेष चर को हल करें।
4. प्राप्त मान को किसी समीकरण में रखकर दूसरा चर निकालें।

आरेखीय विधि (Graphical Method):
1. दोनों समीकरणों की रेखाएँ ग्राफ पर खींचें।
2. प्रतिच्छेद बिंदु \((x, y)\) हल है।

क्रॉस-मल्टिप्लिकेशन विधि (Cross-Multiplication Method):
समीकरणों \( a_1x + b_1y + c_1 = 0 \) और \( a_2x + b_2y + c_2 = 0 \) के लिए:
\( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \)

आसान भाषा में: ये विधियाँ दो समीकरणों को हल करके \( x \) और \( y \) के मान निकालने में मदद करती हैं।

वार्तिक प्रश्न (Word Problems based on Simultaneous Equations)

आयु से संबंधित प्रश्न: दो व्यक्तियों की आयु के बीच संबंध को समीकरणों में व्यक्त करें।

गति, समय और दूरी: गति और दूरी के आधार पर समय या दूरी निकालें।

मिश्रण: दो पदार्थों के मिश्रण की मात्रा या लागत।

अंक और अंकगणितीय: संख्याओं और उनके अंकों के बीच संबंध।

वस्तु के मूल्य/लाभ-हानि: वस्तुओं की कीमत या लाभ-हानि।

आसान भाषा में: वास्तविक जीवन की समस्याओं को समीकरणों में बदलकर हल करें।

शब्द समस्याएँ

निम्नलिखित शब्द समस्याएँ युगपत समीकरणों पर आधारित हैं:

  1. एक पिता की आयु अपने बेटे की आयु से 3 गुनी है। 10 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 80 वर्ष होगा। उनकी वर्तमान आयु निकालें।
  2. दो संख्याओं का योग 25 और उनका अंतर 7 है। संख्याएँ निकालें।
  3. एक नाव धारा के साथ 12 किमी/घंटा और धारा के विपरीत 8 किमी/घंटा की गति से चलती है। नाव और धारा की गति निकालें।
  4. एक दुकान में 5 पेन और 3 किताबों की कीमत 65 रुपये, और 3 पेन और 2 किताबों की कीमत 40 रुपये है। एक पेन और एक किताब की कीमत निकालें।
  5. एक संख्या के अंकों का योग 12 है, और संख्या अपने अंकों को उलटने से बनी संख्या से 27 अधिक है। संख्या निकालें।
  6. दो दोस्तों की आयु का अंतर 5 वर्ष है। 3 वर्ष बाद उनकी आयु का योग 29 वर्ष होगा। उनकी वर्तमान आयु निकालें।
  7. एक मिश्रण में 20% और 30% शराब के दो घोल हैं। 50 लीटर 25% शराब के मिश्रण के लिए प्रत्येक की मात्रा निकालें।
  8. दो ट्रेनें एक-दूसरे की ओर 50 किमी/घंटा और 70 किमी/घंटा की गति से चल रही हैं। यदि वे 3 घंटे में मिलती हैं, तो उनकी प्रारंभिक दूरी निकालें।
  9. एक दुकान में 2 सेब और 3 संतरे की कीमत 50 रुपये, और 3 सेब और 2 संतरे की कीमत 45 रुपये है। एक सेब और एक संतरे की कीमत निकालें।
  10. एक संख्या अपने अंकों को उलटने से बनी संख्या से 36 कम है। अंकों का योग 10 है। संख्या निकालें।

महत्वपूर्ण बिंदु

  • दो चर वाला रेखीय समीकरण: \( ax + by + c = 0 \), ग्राफ पर सरल रेखा।
  • हल: वह \((x, y)\) जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
  • प्रतिस्थापन: एक चर को दूसरे के रूप में व्यक्त करें।
  • उन्मूलन: एक चर को हटाकर हल करें।
  • क्रॉस-मल्टिप्लिकेशन: \( \frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} \।

बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQs)