8. वर्ग समीकरण

उदाहरण 1:

समीकरण \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) एक वर्ग समीकरण है। इसे सत्यापित करें।

हल:
सामान्य रूप: \( ax^2 + bx + c = 0 \)
यहाँ \( a = 1, b = -5, c = 6 \), और \( a \neq 0 \।
चर \( x \) की उच्चतम घात 2 है।
जवाब: यह एक वर्ग समीकरण है।

उदाहरण 2:

जाँचें कि \( 2x^2 + 3x = 0 \) एक वर्ग समीकरण है या नहीं।

हल:
सामान्य रूप: \( ax^2 + bx + c = 0 \)
यहाँ \( a = 2, b = 3, c = 0 \), और \( a \neq 0 \।
चर \( x \) की उच्चतम घात 2 है।
जवाब: यह एक वर्ग समीकरण है।

उदाहरण 1:

समीकरण \( x^2 = 9 \) को हल करें।

हल:
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm \sqrt{9} = \pm 3 \)
जवाब: \( x = 3, -3 \)

उदाहरण 2:

समीकरण \( x^2 = -4 \) को हल करें।

हल:
\( x^2 = -4 \)
चूंकि \( \sqrt{-4} \) वास्तविक संख्या नहीं है।
जवाब: कोई वास्तविक हल नहीं।

उदाहरण 1: गुणनखंड और सूत्र विधि

समीकरण \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) को हल करें।

गुणनखंड विधि:
1. \( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \)
2. \( x - 2 = 0 \), \( x = 2 \); \( x - 3 = 0 \), \( x = 3 \)
जवाब: \( x = 2, 3 \)

सूत्र विधि:
1. \( a = 1, b = -5, c = 6 \)
2. \( D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \)
3. \( x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \)
4. \( x = \frac{6}{2} = 3 \), \( x = \frac{4}{2} = 2 \)
जवाब: \( x = 2, 3 \)

उदाहरण 2: पूर्ण वर्ग विधि

समीकरण \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) को हल करें।

हल:
1. \( x^2 + 4x = -3 \)
2. \( x^2 + 4x + 4 = -3 + 4 \), \( (x + 2)^2 = 1 \)
3. \( x + 2 = \pm 1 \)
4. \( x = -2 + 1 = -1 \), \( x = -2 - 1 = -3 \)
जवाब: \( x = -1, -3 \)

उदाहरण 1: क्षेत्रफल

एक आयत का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी है, और इसकी लंबाई चौड़ाई से 1 सेमी अधिक है। आयाम निकालें।

हल:
1. चौड़ाई \( x \) सेमी, लंबाई \( x + 1 \) सेमी।
2. \( x(x + 1) = 30 \), \( x^2 + x - 30 = 0 \)
3. \( (x + 6)(x - 5) = 0 \), \( x = 5, -6 \)
4. \( x = 5 \) (चूंकि चौड़ाई धनात्मक)।
जवाब: चौड़ाई 5 सेमी, लंबाई 6 सेमी।

उदाहरण 2: संख्या

एक संख्या अपने वर्ग का 6 गुना है। संख्या निकालें।

हल:
1. संख्या \( x \), \( x = 6x^2 \)
2. \( 6x^2 - x = 0 \), \( x(6x - 1) = 0 \)
3. \( x = 0, \frac{1}{6} \)
जवाब: \( x = 0, \frac{1}{6} \)

हल:

1. हल:
   चौड़ाई \( x \), लंबाई \( x + 2 \।
   \( x(x + 2) = 72 \), \( x^2 + 2x - 72 = 0 \)
   \( (x + 8)(x - 6) = 0 \), \( x = 6 \)
   जवाब: चौड़ाई 6 मीटर, लंबाई 8 मीटर।
2. हल:
   \( h = -5(3)^2 + 20(3) = -45 + 60 = 15 \)
   जवाब: 15 मीटर।
3. हल:
   \( x = x^2 - 12 \), \( x^2 - x - 12 = 0 \)
   \( (x - 4)(x + 3) = 0 \), \( x = 4, -3 \)
   जवाब: \( 4, -3 \।
4. हल:
   वस्तुएँ \( x \), लागत मूल्य \( y \।
   \( x \cdot y = 50 \), \( x \cdot (y - 2) = 50 - 10 \)
   \( x y - 2x = 40 \), \( 2x = 10 \), \( x = 5 \)
   जवाब: 5 वस्तुएँ।
5. हल:
   \( x^2 = 100 \), \( x = \pm \sqrt{100} = \pm 10 \)
   जवाब: भुजा 10 मीटर।
6. हल:
   \( x \cdot y = 48 \), \( x^2 + y^2 = 100 \)
   \( x^2 + \left(\frac{48}{x}\right)^2 = 100 \), \( x^4 - 100x^2 + 2304 = 0 \)
   \( (x^2 - 64)(x^2 - 36) = 0 \), \( x^2 = 64, 36 \), \( x = \pm 8, \pm 6 \)
   जवाब: \( 8, 6 \) या \( 6, 8 \।
7. हल:
   गति \( s \), \( \frac{d}{s} = 2 \), \( \frac{d}{s - 10} = 2 + \frac{48}{60} \)
   \( d = 2s \), \( \frac{2s}{s - 10} = 2.8 \), \( s = 70 \)
   जवाब: 70 किमी/घंटा।
8. हल:
   लंबाई \( x \), चौड़ाई \( y \।
   \( 2(x + y) = 34 \), \( x \cdot y = 60 \)
   \( x + y = 17 \), \( y = \frac{60}{x} \), \( x^2 - 17x + 60 = 0 \)
   \( (x - 12)(x - 5) = 0 \), \( x = 12, 5 \)
   जवाब: 12 सेमी, 5 सेमी।
9. हल:
   \( x = 8x^2 \), \( 8x^2 - x = 0 \), \( x(8x - 1) = 0 \)
   \( x = 0, \frac{1}{8} \)
   जवाब: \( 0, \frac{1}{8} \।
10. हल:
    वस्तुएँ \( x \), लागत मूल्य \( y \।
    \( x \cdot y = 120 \), \( x \cdot (y + 3) = 120 + 15 \)
    \( 3x = 15 \), \( x = 5 \)
    जवाब: 5 वस्तुएँ।