क्षेत्रमिति सूत्र

2D आकृतियाँ

सामान्य 2D ज्यामितीय आकृतियों के क्षेत्रफल और परिमाप की गणना के लिए सूत्र।

वर्ग
\( \text{Area} = a^2 \)
\( \text{Perimeter} = 4a \)

जहाँ \( a \) भुजा की लंबाई है।

आयत
\( \text{Area} = l \times w \)
\( \text{Perimeter} = 2(l + w) \)

जहाँ \( l \) लंबाई और \( w \) चौड़ाई है।

त्रिभुज
\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times b \times h \)
\( \text{Perimeter} = a + b + c \)

जहाँ \( b \) आधार, \( h \) ऊँचाई, और \( a, b, c \) भुजाएँ हैं।

समबाहु त्रिभुज
\( \text{Area} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \)
\( \text{Perimeter} = 3a \)

जहाँ \( a \) भुजा की लंबाई है।

समानांतर चतुर्भुज
\( \text{Area} = b \times h \)
\( \text{Perimeter} = 2(a + b) \)

जहाँ \( b \) आधार, \( h \) ऊँचाई, और \( a, b \) आसन्न भुजाएँ हैं।

समलंब
\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \)
\( \text{Perimeter} = a + b + c + d \)

जहाँ \( a, b \) समानांतर भुजाएँ, \( h \) ऊँचाई, और \( c, d \) गैर-समानांतर भुजाएँ हैं।

समचतुर्भुज
\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
\( \text{Perimeter} = 4a \)

जहाँ \( d_1, d_2 \) विकर्ण और \( a \) भुजा की लंबाई है।

सम बहुभुज
\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times n \times a \times r \)
\( \text{Perimeter} = n \times a \)

जहाँ \( n \) भुजाओं की संख्या, \( a \) भुजा की लंबाई, और \( r \) अंतःवृत्त की त्रिज्या है।

पतंग (Kite)
\( \text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \)
\( \text{Perimeter} = 2(a + b) \)

जहाँ \( d_1, d_2 \) विकर्ण और \( a, b \) आसन्न भुजाओं की जोड़ी हैं।

विषमबाहु त्रिभुज (Heron's Formula)
\( \text{Area} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)
\( s = \frac{a + b + c}{2} \)

जहाँ \( a, b, c \) भुजाएँ और \( s \) अर्ध-परिमाप है।

3D आकृतियाँ

सामान्य 3D ज्यामितीय आकृतियों के आयतन और सतह क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र।

घन
\( \text{Volume} = a^3 \)
\( \text{Surface Area} = 6a^2 \)

जहाँ \( a \) किनारे की लंबाई है।

आयताकार प्रिज्म
\( \text{Volume} = l \times w \times h \)
\( \text{Surface Area} = 2(lw + lh + wh) \)

जहाँ \( l \) लंबाई, \( w \) चौड़ाई, और \( h \) ऊँचाई है।

बेलन
\( \text{Volume} = \pi r^2 h \)
\( \text{Surface Area} = 2\pi r (r + h) \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या और \( h \) ऊँचाई है।

शंकु
\( \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \)
\( \text{Surface Area} = \pi r (r + \sqrt{h^2 + r^2}) \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या और \( h \) ऊँचाई है।

गोला
\( \text{Volume} = \frac{4}{3} \pi r^3 \)
\( \text{Surface Area} = 4\pi r^2 \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है।

अर्धगोला
\( \text{Volume} = \frac{2}{3} \pi r^3 \)
\( \text{Surface Area} = 3\pi r^2 \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है (वक्र और आधार सतह शामिल)।

शंकु का खंड (Frustum)
\( \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + rR + r^2) \)
\( \text{Surface Area} = \pi (R + r) \sqrt{h^2 + (R - r)^2} + \pi (R^2 + r^2) \)

जहाँ \( R \) आधार त्रिज्या, \( r \) शीर्ष त्रिज्या, और \( h \) ऊँचाई है।

त्रिकोणीय प्रिज्म
\( \text{Volume} = \frac{1}{2} \times b \times h \times l \)
\( \text{Surface Area} = b h + (a + b + c) l \)

जहाँ \( b \) आधार, \( h \) त्रिभुज की ऊँचाई, \( l \) प्रिज्म की लंबाई, और \( a, b, c \) त्रिभुज की भुजाएँ हैं।

आयताकार पिरामिड
\( \text{Volume} = \frac{1}{3} \times l \times w \times h \)
\( \text{Surface Area} = l w + l \sqrt{\left(\frac{w}{2}\right)^2 + h^2} + w \sqrt{\left(\frac{l}{2}\right)^2 + h^2} \)

जहाँ \( l \) आधार की लंबाई, \( w \) आधार की चौड़ाई, और \( h \) ऊँचाई है।

गोले का खंड
\( \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi h^2 (3R - h) \)
\( \text{Surface Area (Curved)} = 2\pi R h \)

जहाँ \( R \) गोले की त्रिज्या और \( h \) खंड की ऊँचाई है।

खोखला बेलन
\( \text{Volume} = \pi h (R^2 - r^2) \)
\( \text{Surface Area} = 2\pi (R + r) h + 2\pi (R^2 - r^2) \)

जहाँ \( R \) बाहरी त्रिज्या, \( r \) आंतरिक त्रिज्या, और \( h \) ऊँचाई है।

वृत्त

वृत्त और इसके गुणों से संबंधित सूत्र।

वृत्त का क्षेत्रफल
\( \text{Area} = \pi r^2 \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है।

वृत्त की परिधि
\( \text{Circumference} = 2\pi r \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है।

व्यास
\( \text{Diameter} = 2r \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है।

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल
\( \text{Area} = \frac{1}{2} \pi r^2 \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है।

अर्धवृत्त की परिधि
\( \text{Perimeter} = \pi r + 2r \)

जहाँ \( r \) त्रिज्या है (वक्र और आधार रेखा शामिल)।

वृत्त खंड और चाप

वृत्त के खंड और चाप के लिए सूत्र।

वृत्त खंड का क्षेत्रफल (डिग्री)
\( \text{Area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 \)

जहाँ \( \theta \) केंद्रीय कोण डिग्री में और \( r \) त्रिज्या है।

चाप की लंबाई (डिग्री)
\( \text{Arc Length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r \)

जहाँ \( \theta \) केंद्रीय कोण डिग्री में और \( r \) त्रिज्या है।

वृत्त खंड का क्षेत्रफल (रेडियन)
\( \text{Area} = \frac{1}{2} r^2 \theta \)

जहाँ \( \theta \) केंद्रीय कोण रेडियन में और \( r \) त्रिज्या है।

चाप की लंबाई (रेडियन)
\( \text{Arc Length} = r \theta \)

जहाँ \( \theta \) केंद्रीय कोण रेडियन में और \( r \) त्रिज्या है।

वृत्त खंड का परिमाप
\( \text{Perimeter} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r + 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \)

जहाँ \( \theta \) केंद्रीय कोण डिग्री में और \( r \) त्रिज्या है।

वृत्ताकार वलय (Annulus) का क्षेत्रफल
\( \text{Area} = \pi (R^2 - r^2) \)

जहाँ \( R \) बाहरी त्रिज्या और \( r \) आंतरिक त्रिज्या है।