किसी संख्या के गुणनखंड वे संख्याएँ होती हैं जो उस संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित करती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 36 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36।
यदि \( n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times p_3^{a_3} \times \dots \times p_k^{a_k} \)
तब गुणनखंडों की संख्या \( d(n) \) होगी –
\[ d(n) = (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\dots (a_k+1) \]इसी संख्या के सभी गुणनखंडों का योग \( \sigma(n) \) होगा –
\[ \sigma(n) = \frac{p_1^{a_1+1}-1}{p_1-1} \times \frac{p_2^{a_2+1}-1}{p_2-1} \times \dots \times \frac{p_k^{a_k+1}-1}{p_k-1} \]सभी गुणनखंडों का गुणनफल होता है –
\[ \text{Product of factors} = n^{d(n)/2} \]मान लीजिए \( n = 36 = 2^2 \times 3^2 \)
\[ d(36) = (2+1)(2+1) = 3 \times 3 = 9 \]
गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
\[ \sigma(36) = \left(\frac{2^{2+1}-1}{2-1}\right)\times \left(\frac{3^{2+1}-1}{3-1}\right) \]
\[ = \left(\frac{8-1}{1}\right)\times \left(\frac{27-1}{2}\right) = 7 \times 13 = 91 \]
गुणनखंडों का योग: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 + 36 = 91
\[ \text{Product} = 36^{9/2} = 36^{4.5} = 36^4 \times \sqrt{36} = 1679616 \]
या \( 36^{9/2} = (6^2)^{9/2} = 6^9 = 10077696 \)
नोट: गणना में त्रुटि सुधारित: सही मान 10077696 है।