बहुभुज एवं उनके कोण - ज्यामिति की पूरी जानकारी

बहुभुज (Polygon)

तीन या तीन से अधिक भुजाओं से घिरी आकृति बहुभुज कहलाती है। जैसे- त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज, अष्टभुज आदि।

सम बहुभुज (Regular Polygon)

बराबर माप की भुजाओं और बराबर माप के कोणों से निर्मित बहुभुज सम बहुभुज कहलाता है। जैसे- समबाहु त्रिभुज, वर्ग, समचतुर्भुज, समषट्भुज, समअष्टभुज इत्यादि।

बहुभुज के कोण (Angles of Polygon)

किसी भी बहुभुज में दो प्रकार के कोण होते हैं-

अन्तःकोण (Interior Angle): बहुभुज की दो संलग्न भुजाओं के बीच का कोण अन्तःकोण कहलाता है।
बाह्यकोण या बहिष्कोण (Exterior Angle): किसी एक भुजा और उससे संलग्न भुजा को बाहर आगे बढ़ाने पर बनी रेखा के बीच बना कोण बाह्यकोण कहलाता है।

विकर्ण (Diagonals)

विकर्ण वे रेखाएँ हैं जो बहुभुज के गैर-संलग्न शीर्षों को जोड़ती हैं।

नोट: बहुभुज के सूत्र

यदि बहुभुज में भुजाओं की संख्या \( n \) हो, तो निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं (ये सूत्र किसी भी बहुभुज (सम या विषम) के लिए सही हैं, लेकिन सम बहुभुज के लिए प्रत्येक कोण बराबर होता है):

(1) बहुभुज के सभी अन्तःकोणों का योग (Sum of Interior Angles) = \( (n - 2) \times 180^\circ \)

सम बहुभुज का एक अन्तःकोण (Interior Angle of Regular Polygon) = \( \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n} \)

(2) किसी भी बहुभुज के सभी बाह्यकोणों का योग (Sum of Exterior Angles) = \( 360^\circ \)

सम बहुभुज का एक बाह्यकोण (Exterior Angle of Regular Polygon) = \( \frac{360^\circ}{n} \)

(3) बहुभुज में भुजाओं की संख्या = अन्तःकोणों की संख्या = बाह्यकोणों की संख्या = \( n \)

(4) बहुभुज के संलग्न अन्तःकोण और बाह्यकोण का योग (Adjacent Interior and Exterior Angle) = \( 180^\circ \)

अर्थात् अन्तःकोण + बाह्यकोण = \( 180^\circ \)

(5) विकर्णों की संख्या (Number of Diagonals) = \( \frac{n(n-3)}{2} \)

सूत्रों का व्युत्पत्ति (Derivation of Formulas)

अन्तःकोणों का योग: किसी \( n \)-भुजा वाले बहुभुज को एक शीर्ष से विकर्ण खींचकर \( (n - 2) \) त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। प्रत्येक त्रिभुज के कोणों का योग \( 180^\circ \) होता है, इसलिए कुल योग \( (n - 2) \times 180^\circ \) होता है।
बाह्यकोणों का योग: बहुभुज के चारों ओर घूमते हुए प्रत्येक शीर्ष पर बाह्यकोण पर मुड़ना पड़ता है, जो कुल \( 360^\circ \) (पूर्ण चक्कर) के बराबर होता है।
विकर्णों की संख्या: प्रत्येक शीर्ष से \( n-3 \) विकर्ण निकलते हैं (स्वयं और दो संलग्न शीर्षों को छोड़कर)। कुल \( n \times (n-3) \) कनेक्शन दो बार गिने जाते हैं, इसलिए \( \frac{n(n-3)}{2} \).

विभिन्न बहुभुजों के कोणों और विकर्णों की तालिका (Table of Angles and Diagonals for Common Polygons)

नीचे कुछ सामान्य बहुभुजों के लिए अन्तःकोणों का योग, सम बहुभुज का एक अन्तःकोण, एक बाह्यकोण और विकर्णों की संख्या दी गई है:

बहुभुज का नाम	भुजाओं की संख्या (\( n \))	अन्तःकोणों का योग	सम बहुभुज का एक अन्तःकोण	सम बहुभुज का एक बाह्यकोण	विकर्णों की संख्या
त्रिभुज (Triangle)	3	\( 180^\circ \)	\( 60^\circ \)	\( 120^\circ \)	0
चतुर्भुज (Quadrilateral)	4	\( 360^\circ \)	\( 90^\circ \)	\( 90^\circ \)	2
पंचभुज (Pentagon)	5	\( 540^\circ \)	\( 108^\circ \)	\( 72^\circ \)	5
षट्भुज (Hexagon)	6	\( 720^\circ \)	\( 120^\circ \)	\( 60^\circ \)	9
अष्टभुज (Octagon)	8	\( 1080^\circ \)	\( 135^\circ \)	\( 45^\circ \)	20
दशभुज (Decagon)	10	\( 1440^\circ \)	\( 144^\circ \)	\( 36^\circ \)	35

उदाहरण और स्मरणीय तथ्य (Examples with Solutions)

निम्नलिखित उदाहरण सभी सूत्रों (अन्तःकोणों का योग, एक अन्तःकोण, बाह्यकोणों का योग, एक बाह्यकोण, और विकर्णों की संख्या) को कवर करते हैं:

उदाहरण 1: समबाहु त्रिभुज (\( n = 3 \))
- अन्तःकोणों का योग = \( (3-2) \times 180^\circ = 180^\circ \)
- एक अन्तःकोण = \( \frac{(3-2) \times 180^\circ}{3} = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ \)
- बाह्यकोणों का योग = \( 360^\circ \)
- एक बाह्यकोण = \( \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ \)
- विकर्णों की संख्या = \( \frac{3(3-3)}{2} = \frac{3 \times 0}{2} = 0 \)
- सत्यापन: अन्तःकोण + बाह्यकोण = \( 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ \)
स्मरणीय तथ्य : त्रिभुज में अन्तःकोणों का योग \( 180^\circ \), प्रत्येक अन्तःकोण \( 60^\circ \), प्रत्येक बाह्यकोण \( 120^\circ \), और कोई विकर्ण नहीं।
उदाहरण 2: वर्ग (\( n = 4 \))
- अन्तःकोणों का योग = \( (4-2) \times 180^\circ = 360^\circ \)
- एक अन्तःकोण = \( \frac{(4-2) \times 180^\circ}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \)
- बाह्यकोणों का योग = \( 360^\circ \)
- एक बाह्यकोण = \( \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ \)
- विकर्णों की संख्या = \( \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = 2 \)
- सत्यापन: अन्तःकोण + बाह्यकोण = \( 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
स्मरणीय तथ्य : वर्ग में अन्तःकोणों का योग \( 360^\circ \), प्रत्येक अन्तःकोण \( 90^\circ \), प्रत्येक बाह्यकोण \( 90^\circ \), और 2 विकर्ण।
उदाहरण 3: सम पंचभुज (\( n = 5 \))
- अन्तःकोणों का योग = \( (5-2) \times 180^\circ = 540^\circ \)
- एक अन्तःकोण = \( \frac{(5-2) \times 180^\circ}{5} = \frac{540^\circ}{5} = 108^\circ \)
- बाह्यकोणों का योग = \( 360^\circ \)
- एक बाह्यकोण = \( \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ \)
- विकर्णों की संख्या = \( \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5 \)
- सत्यापन: अन्तःकोण + बाह्यकोण = \( 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ \)
स्मरणीय तथ्य : पंचभुज में अन्तःकोणों का योग \( 540^\circ \), प्रत्येक अन्तःकोण \( 108^\circ \), प्रत्येक बाह्यकोण \( 72^\circ \), और 5 विकर्ण।
उदाहरण 4: सम षट्भुज (\( n = 6 \))
- अन्तःकोणों का योग = \( (6-2) \times 180^\circ = 720^\circ \)
- एक अन्तःकोण = \( \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ \)
- बाह्यकोणों का योग = \( 360^\circ \)
- एक बाह्यकोण = \( \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ \)
- विकर्णों की संख्या = \( \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9 \)
- सत्यापन: अन्तःकोण + बाह्यकोण = \( 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)
स्मरणीय तथ्य : षट्भुज में अन्तःकोणों का योग \( 720^\circ \), प्रत्येक अन्तःकोण \( 120^\circ \), प्रत्येक बाह्यकोण \( 60^\circ \), और 9 विकर्ण।
उदाहरण 5: सम अष्टभुज (\( n = 8 \))
- अन्तःकोणों का योग = \( (8-2) \times 180^\circ = 1080^\circ \)
- एक अन्तःकोण = \( \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} = \frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ \)
- बाह्यकोणों का योग = \( 360^\circ \)
- एक बाह्यकोण = \( \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ \)
- विकर्णों की संख्या = \( \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = 20 \)
- सत्यापन: अन्तःकोण + बाह्यकोण = \( 135^\circ + 45^\circ = 180^\circ \)
स्मरणीय तथ्य : अष्टभुज में अन्तःकोणों का योग \( 1080^\circ \), प्रत्येक अन्तःकोण \( 135^\circ \), प्रत्येक बाह्यकोण \( 45^\circ \), और 20 विकर्ण।